利用空間向量探討幾何體中點的存在性問題

■河北省臨城中學2014級02班 孫奇士

利用空間向量探討幾何體中點的存在性問題

■河北省臨城中學2014級02班 孫奇士

在立體幾何中,經常遇到點的存在性問題,即探討線線平行(垂直),線面平行(垂直)和面面平行(垂直)中的點是否存在。這類問題用空間向量的坐標運算來處理比較簡單直觀。

一、直線上點的存在

如圖1,在側棱與底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC= 3,BC=4,AB=5, AA1=4。

(1)求證:AC⊥BC1。

圖1

(2)在AB上是否存在點D,使得AC1⊥CD?

(3)在AB上是否存在點D,使得AC1∥平面CDB1。

解析:三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3, BC=4,AB=5,AC,BC,CC1兩兩垂直。以為C坐標原點,直線CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖2的空間直角坐標系,則C(0,0,0), A(3,0,0),C1(0,0, 4),B(0,4,0),B1(0, 4,4)。

圖2

(2)假設AB在上存在點D,使得AC1⊥ CD,則=(-3λ,4λ,0),其中0≤ λ≤1,則D點坐標為(3-3λ,4λ,0)。

所以在AB上存在點D使得AC1⊥CD,此時點D與點B重合。

(3)假設在AB上存在點D使得AC1∥平面CDB1,則=(-3λ,4λ,0),其中0≤λ≤1,D的坐標為(3-3λ,4λ,0)=(3 -3λ,4λ-4,-4)。

此時m(3-3λ)=-3,m(4λ-4)-4n= 0,-4m-4n=4,解得

所以在AB上存在點D使得AC1∥平面CDB1,此時D為AB的中點。

點評:解存在性問題,一般是假設存在,設點的坐標為(x,y,z),再利用點在直線上,將x,y,z用λ表示,根據平行或垂直的數量積運算得到關于λ的方程求解。

二、平面內點的存在

如圖3,在四棱錐P-ABCD中, PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD =DC,E、F分別是AB、PB的中點。

圖3

(1)求證:EF⊥CD。

(2)在平面PAD內求一點G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結論。

解析:以DA,DC,DP所在直線分別為軸,y軸,z軸建立如圖4所示的空間直角坐標系,設AD=a,則坐標分別為

圖4

練一練:

1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AD、DD1的中點,AB=BC=2,過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后,得到如圖5所示的幾何體ABCDA1C1D1,且這個幾何體的體積為

(1)求證:EF∥平面A1BC1。

(2)求A1A的長。

(3)在線段BC1上是否存在點P,使直線A1P與C1D垂直?如果存在,求線段A1P的長;如果不存在,請說明理由。

圖5

答案:(1)略;(2)4;(3)存在,

2.如圖6,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB,M、N分別是PA、BC的中點。

圖6

(1)求證:MN∥平面PCD。

(2)在棱PC上是否存在點E,使得AE⊥平面PBD?若存在,求出AE與平面PBC所成角的正弦值;若不存在,請說明理由。

答案:(1)略;(2)點E存在,是PC的中點,正弦值為

3.已知M為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點,點P在面CC1D1D內,且PM∥平面BB1D1D,探討點P的確切位置。

答案:點P在線段CD、C1D1的中點的連線上。

4.在棱長AB=AD=2,AA1=3的長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是平面BCC1B1上一個動點,點F是CD的中點,試確定點E的位置,使得D1E⊥平面AB1F。

答案:以A為原點,直線AB、AD,AA1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,

(責任編輯 徐利杰)