一個動量守恒二級結論的妙用

■山西省介休市第一中學 石有山

一個動量守恒二級結論的妙用

■山西省介休市第一中學 石有山

如圖1所示,A、B兩個小球的質量分別為m1、m2,小球B靜止在光滑的水平面上,小球A以初速度v0與小球B發生正碰,碰后合二為一,求系統損失的機械能。

圖1

解析：由系統動量守恒得m1v0=(m1+ m2)v,系統損失的機械能

結論：一動一靜模型發生完全非彈性碰撞,即合二為一的碰撞時,損失的機械能為原來運動物體的動能乘以另一個物體的質量與兩物體質量之和的比值。

拓展一：子彈射擊木塊模型中,當合二為一時,上述系統損失的機械能表達式仍然成立,且損失的機械能等于系統的發熱量。

證明：設質量為m的子彈以初速度v0射向靜止在光滑水平面上的質量為M的木塊,并留在木塊中不再射出,子彈射入木塊的深度為d,如圖2所示。

圖2

從動量的角度看,在子彈射入木塊的過程中系統的動量守恒,則m v0=(M+m)v。

從能量的角度看,在子彈射入木塊的過程中,系統損失的動能全部轉化為系統的內能。設木塊與子彈間的平均阻力大小為f,子彈、木塊的位移大小分別為s1、s2,則s1-s2=d,對子彈應用動能定理得對木塊應用動能定理得故f d=f(s1-s2)=式中f d為摩擦阻力與相對位移的乘積,等于系統的發熱量。

如圖3所示,質量m1=0.3k g的小車靜止在光滑的水平面上,小車的長度L=1 5 m,現有質量m2=0.2k g的物塊(可視為質點),以水平向右的速度v0=2m/s從左端滑上小車,最后在車面上某處與小車保持相對靜止。物塊與車面間的動摩擦因數μ=0.5,取g= 1 0m/s2。求:

圖3

(1)物塊在車面上滑行的時間t。

(2)要使物塊不從小車右端滑出,物塊滑上小車左端的速度v0'不超過多少?

解析：(1)設物塊與小車相對靜止時的共同速度為v,以水平向右為正方向,由動量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v。設物塊與車面間的滑動摩擦力為f,則f=μm2g,對物塊應用動量定理得-f t=m2v-m2v0。聯立以上各式解得

(2)要使物塊恰好不從小車右端滑出,需物塊到車面右端時與小車有共同的速度v',則m2v0'=(m1+m2)v',由功能關系得解得

點評:只要是一動一靜模型,系統動量守恒,發生合二為一的過程,不管是否碰撞,動能的損失一定為原來運動物體的動能乘以另一個物體的質量與兩物體質量之和的比值。同學們在求解此模型問題時,若直接應用上述結論,則可大大加快解題速度。

拓展二：當系統機械能守恒時,合二為一的能量轉化為重力勢能。當系統中沒有機械能和其他形式能的相互轉化時,系統的機械能守恒。系統機械能守恒的常用表達式為ΔEp=-ΔEk,即系統勢能的增加量等于系統動能的減少量。

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