數列問題的幾個創新視角

■山東省沂源縣第一中學 劉玉珍

數列問題的幾個創新視角

■山東省沂源縣第一中學 劉玉珍

數列是高中數學的重要內容,是高考的熱點,也是進一步學習數學的基礎,因此高考對這部分知識的考查題型多樣,其中解答題的難度也較高。縱觀近幾年的高考試題,關于數列的考查主要有以下三個方面的內容:一是數列本身的知識,主要是等差(比)數列的概念、通項公式、前n項和公式;二是數列與其他知識的交匯,如與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等知識的結合;三是數列的應用問題,主要是增長率、分期付款等。下面介紹高考考查數列問題的新視角,供同學們學習時參考。

視角1：與組合交匯

是否存在等差數列{an},使等式對一切n∈N*成立?試證明你的結論。

思路：從特殊出發,推測一般,邏輯驗證。

解析：假設存在等差數列,使題中等式對一切n∈N*成立,則n=1,2,3,4時該等式必成立,將n=1,2,3,4依次代入題中等式,可求得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5。由此推測通項公式an=n+1,證明如下:

視角2：與向量、解析幾何交匯

如圖1,直線y=k x上有一系列點P1_,_P2,P3,…,Pn,…,已知n≥2時,設線段P1P2,P2P3, P3P4,…,PnPn+1的長分別為a1,a2,a3,…,an,且a1=1。

(責任編輯 王福華)

(1)求出a2,a3的值,并寫出an的表達式(用n表示);

(2)設點M(n,an) (n≥2,n∈N),證明這些點中不可能有兩個點在直線y=k x上。

圖1

思路：將已知的向量等式變形,得到一個關于向量長度的數列遞推式。

解析：(1)由得

(2)假設A(m,am),B(t,at)兩點均在直線y=k x上,其中m≠t。則有am=k m,且 at=k t,所以所以即所以m=t。這與m≠t矛盾,故在這些點M(n,an)(n≥2,n∈N)中不可能有兩個點在直線y=k x上。

如圖2,在直角坐標系x O y中,有一組對角線長為an的正方形AnBnCnDn(n=1,2,…),其對角線BnDn依次放置在x軸上(相鄰頂點重合)。設{an}是首項為a,公差為d(d＞0)的等差數列,點B1的坐標為(d,0)。

(1)當a=8,d= 4時,證明:頂點A1、A2、A3不在同一條直線上;

圖2

(2)在(1)的條件下,證明:所有頂點An均落在拋物線y2=2x上;

(3)為了使所有頂點An均落在拋物線y2=2p x(p＞0)上,求a與d應滿足的關系式。

思路：數列與解析幾何相結合,常常通過點的坐標來聯系。(1)要證三點不在同一條直線上,只要說明它們的斜率不相等就可以了。(2)要證明點在曲線上,就是要證明點的坐標滿足曲線方程。(3)要使所有的點在曲線上,只要使第n個點的坐標滿足曲線方程,就可以尋找到關系式。

解析：(1)由題意可知,A1(8 ,4), A2(1 8,6),A3(3 2,8),所以

因為kA1A2≠kA2A3,所以頂點A1,A2,A3不在同一條直線上。

(2)由題意可知,頂點An的橫坐標xn=頂點An的縱坐標

因為對任意正整數n,點An(xn,yn)的坐標滿足方程y2=2x,故所有頂點An均落在拋物線y2=2x上。

(3)解法1:由題意可知,頂點An的橫、縱坐標分別是消去n-1,可得

為了使所有頂點An均落在拋物線y2= 2p x(p＞0)上,則有解得d=4p,a=8p。

故a、d應滿足的關系式是a=2d。

解法2:點A1(x1,y1)的坐標為

因為點A1(x1,y1)在拋物線y2=2p x上,所以

又 點 A2(x2,y2)的 坐 標 為且點A2(x2,y2)也在拋物線上,所以由解得a=2d。

故a、d應滿足的關系式是a=2d。

點評:對于數列與解析幾何相結合的問題,這里是以正方形的對角線為數列的項,通過它得到An的坐標作為數列中的項,將數列與解析幾何結合起來。這類題的綜合性和探索性較強,知識的交匯清新自然且難度較大,能有效地考查深層次的數學品質和數學綜合素質,因而極易在高考中出現。

視角3：與概率交匯

A,B兩人拿一顆骰子每人連續拋擲兩次做游戲(每拋擲兩次算一次實驗),規則如下:若擲出的點數之和是3的倍數,則由原擲骰子的人繼續擲;若擲出的點數之和不是3的倍數,就換對方擲。第一次由A開始擲,設第n次由A擲的概率為Pn,求Pn的表達式(用n表示)。

思路：分類討論確定Pn的遞推關系,再求Pn的表達式。

解析：兩顆骰子包含的基本事件共有6×6=3 6種,由題意可知,第n次由A擲有兩種情況:

由于這兩種情況是互斥的,因此Pn=,其中n≥2。

又P1=1,所以數列是以P-1為首項,為公比的等比數列。

(1)求P1和P2的值;

(2)求證:Pn+2-Pn+1=-

(3)求Pn的表達式。

解析：(1)P1為到達點(0,1)的概率,要到達(0,1)只有按向量a移動才可能,故。P為到達點(0,2)的概率,要到達

2(0,2)有兩種方法,第一種直接按向量b可到達;第二種兩次都按向量a走,故

(2)M點到達點(0,n+2)有兩種情況:①從點(0,n+1)按向量a=(0,1)移動;②從點(0,n)按向量b=(0,2)移動。所以Pn+2=(Pn+1-Pn)。問題得證。

(3)由(1)(2)知{Pn+1-Pn}是以P2-P1=為首項,-為公比的等比數列,所以所以又因為所以Pn=

點評:遞推問題是數列中的重點知識之一,本例若撇開概率知識,單純地由Pn+2-,求 Pn的表達式,則其難度遠低于高考中數列試題的平均難度,現一旦與概率知識交錯綜合,難度就大增,要不是(1)、(2)兩問的引導與鋪墊,我們一時難以想到用遞推數列來求解。

視角4：與函數、不等式交匯

已知函數f(x)=l n(2-x)+ a x,在x∈(0,1)內是增函數。

(1)求實數a的取值范圍;

(2)若數列{an}滿足a1∈(0,1),an+1= l n(2-an)+an(n∈N*),證明:0＜an＜an+1＜1;

(3)若數列{bn}滿足b1∈(0,1),bn+1= 2 l n(2-bn)+bn(n∈N*),問:數列{bn}是否單調?

解析：(1)對一切x∈(0,1)恒成立。當x∈(0,1)時,所以a≥1。

(2)由(1)知,當a=1時,f(x)在(0,1)上是增函數,所以f(0)＜f(x)＜f(1),所以0＜f(x)＜1。

要證0＜an＜1,可用數列歸納法:

當n=1時,a1∈(0,1)成立,假設當n= k時,有ak∈(0,1),則當n=k+1時,ak+1= l n(2-ak)+ak符合上述函數f(x)=l n(2-x)+x的條件,所以0＜ak+1＜1成立。故0＜an＜1成立。又an+1-an=l n(2-an)＞0,所以an+1＞an所以0＜an＜an+1＜1。

由0＜2-b2＜1,知b3-b2＜0?b3＜b2。

由b1＜b2,b2＞b3,知數列{bn}不單調。

點評:本題是一道很有味道的題目,特別是第(3)問通過特殊化來說明函數不單調。

視角5：與三角函數交匯

證明：要證α、β、γ成等差數列,因為α、 β、γ是銳角,只要證

所以α、β、γ成等差數列。

(責任編輯 王福華)