數學思想在解三角形中的應用

■廣東省信宜礪儒中學 伍玲華

數學思想在解三角形中的應用

■廣東省信宜礪儒中學 伍玲華

縱觀近幾年的高考題,對于解三角形這一考點,往往與三角函數、平面向量、函數性質、不等式性質等知識進行交匯命題。試題的設計主要體現了以下四種數學思想:數形結合思想、函數與方程思想、轉化與化歸思想和分類討論思想。下面將詳細闡述這四種數學思想在解三角形中的應用。

一、數形結合思想

數形結合思想是數與形之間的對應關系,通過數與形的相互轉化,將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來解決問題的思想方法。數形結合思想是解決許多數學問題的有效思想,利用數形結合能使“數”和“形”統一起來,以形助數,以數輔形,可以使許多數學問題變得簡易化。

圖1

如圖1,在△A B C中,D是邊B C上的點,且A C=C D,2A C=A D,A B=2A D,則s i nB等于( )。

解析：根據題意,設A D=2x,則A C= C D=x,A B=4x。在△A D C中,由余弦定理可得所以s i n∠A D B=s i n∠A D C=在△A D B中,由正弦定理得

點評:本題主要考查解三角形及正余弦定理的應用。先根據2A C=A D,設出A D=2x,從而A C,C D,A B均可用x來表示,達到變量的統一,因此只需列出等式求出x的值即可。由余弦定理求出c o s∠A D C,接下來由∠A D B和∠A D C互補,得出其正弦值相等,再從△A D B中使用正弦定理,從而求出s i nB。

二、函數思想

函數思想是指從題目的已知條件出發,通過聯想,構造函數模型,利用函數的性質和圖像解決問題。在解三角形中,主要通過與向量、三角函數性質等結合,解決求角或邊的問題。

(1)寫出c o sA與c o sQ的關系式;

(2)設△P A B和△P Q B的面積分別為S和T,求S2+T2的最大值。

解析：(1)在△P A B中,由余弦定理知P B2=P A2+A B2-2P A·A B·c o sA=4-2c o sA。同理,在△P Q B中,P B2=2-2 c o sQ。所以4-2c o sA=2-2 c o sQ,所以c o sQ=c o sA-1。

點評:本題運用余弦定理、三角形面積公式建立函數模型,運用二次函數性質解決問題。

三、方程思想

方程思想是從分析問題中的數量關系入手,運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組),然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。

(1)求角A的值;

解析：(1)由題意知m·n=s i nA+ c o sB=0。

點評:(1)由兩向量的坐標及兩向量垂直,可得s i nA+c o sB=0,根據C的度數,利用三角形內角和求出B的度數,代入關系式可得A的度數;(2)設,由得由A的度數與C的度數相等,得出在△A B D中,利用余弦定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可求出A B與B C的長,利用公式可求出△A B C的面積。

四、轉化與化歸思想

在研究、解決數學問題時,當思維受阻時考慮尋求簡單方法或從一種情形轉化到另一種情形,從而使問題得到解決,解三角形主要利用正、余弦定理,通過“邊化角、角化邊、切化弦”的思想對問題進行轉化,轉化為熟悉的三角恒等變換、三角函數、平面向量等問題,再進行求解。

在△A B C中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c。已知(b-2a)c o sC+ cc o sB=0。

(1)求C;

解析：(1)由已知及正弦定理得(s i nB-2 s i nA)· c o sC+s i nCc o sB=0,即s i nBc o sC+ c o sBs i nC=2 s i nAc o sC,即s i n(B+C)= 2 s i nAc o sC,所以s i nA=2 s i nAc o sC。

(2)余弦定理c2=a2+b2-2a bc o sC,聯立方程組解得a=1,b=3。

點評:對于解決三角形邊角關系的問題,常用轉化與化歸思想,利用正弦定理和余弦定理將邊角混合的式子化為僅有邊或角的等式,再根據題意求解。

五、分類討論思想

當問題所給的對象不能進行統一研究時,我們就需要對研究的對象進行分類,然后對每一類分別研究,最后綜合各類的結論得到整個問題的解答。分類討論時應注意理解和掌握分類的原則、方法與技巧,做到“確定對象的全體,明確分類的標準,不重復、不遺漏地分類討論”。

在△A B C中,內角A,B,C所對的邊長分別是a,b,c。

(2)若s i nC+s i n(B-A)=s i n2A,試判斷△A B C的形狀。

解析：(1)已知c=2,C=,由余弦定理c2=a2+b2-2a bc o sC,得a2+b2-a b=4。

(2)由s i nC+s i n(B-A)=s i n2A,得s i n(A+B)+s i n(B-A)=2 s i nAc o sA,即2 s i nBc o sA=2 s i nAc o sA,即c o sA· (s i nA-s i nB)=0,所以c o sA=0或s i nA-s i nB=0。

當s i nA-s i nB=0時,得s i nB= s i nA,由正弦定理得a=b,即△A B C為等腰三角形。

故△A B C為等腰三角形或直角三角形。

點評:本題綜合考查正弦定理、余弦定理、三角函數、三角形的面積公式,考查同學們的推理和計算能力。在解題過程中要特別注意隱含條件,如三角形中角的取值范圍為(0,π),內角和為π;在運算過程中注意分類討論,如等式兩邊除以相同的因式要注意因式是否為零,正弦函數在(0,π)上不單調,一個三角函數值對應兩個角,但要注意驗證是否符合題意。