基于APOS理論的二次根式概念教學

林勇兵

一、關于APOS理論概述

近期教育界提出“以學為中心”的教育思想，其主要倡導我們的課堂要從老師教為主，變成學生學為主。任何一個數學教育中的理論或模型都應致力于對“學生是如何學習數學的”及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習”的理解，而不僅僅是陳述一些事實。在數學教學過程中，學生對概念的掌握尤為重要，這直接影響到學生對本章知識的學習。概念的掌握需要學生通過親身體驗、感受概念的直觀背景和概念之間的關系，通過對操作活動的理解概括，學生如果是這樣獲得概念，那么教學中就可事半功倍。

基于對概念教學的考慮，1991年美國數學家、教育家杜賓斯基等人提出一種建構主義學說——APOS理論。它將數學概念的獲得分為“活動——過程——對象——圖式”四個階段。他們認為數學概念的獲得有兩種主要方式：概念形成和概念同化。概念形成要求學生由具體事實概括出新概念，利用學生在實際經驗中大量的生動具體事例，以歸納的方式概括出一類事物的本質屬性，初步形成一個新概念。而概念同化則直接向學生展示定義，即利用原有認知結構中有關知識理解新概念，比較強調數學知識間的邏輯結構，這是一種接受學習，是中學生學習數學概念的主要方式。APOS理論反映了學生學習數學概念的思維過程，正所謂“知己知彼，百戰不殆”，知道學生是如何學習概念，我們就可以把課堂按學生的學習過程進行設計。在課堂上，學生利用已有的知識經驗，通過我們安排的學習環節，理解數學概念。這就是我們現階段提倡的“以生為主體”“以學為中心”，根據學生的學習過程來設計課堂。

二、APOS理論的應用

人教版數學課本中二次根式是在平方根與算術平方根的基礎上學習的，二次根式的掌握影響下一章勾股定理的學習。二次根式概念屬于概念同化，因為它是在學生已有的算術平方根的概念基礎上進行學習的。因此在學習過程中，算術平方根與二次方根的聯系與區別是本章學生掌握的重點和難點。如何突破這個重點和難點，在實際教學中，我根據APOS理論的四個階段，把二次根式概念的教學也分成了四個階段，以此來幫助學生理解概念。

第一階段（Action）：作為“活動”的二次根式運算。在這個階段中，意味著求a的算術平方根，而a只能是非負數。實際教學中可先讓學生回顧平方根與算術平方根的概念以及它們的計算方法，再讓學生完成以下相應練習。

計算：（1）=_______；（2）=_______；（3）=________；（4）=_________；（5）=________；（6）=________。

最后給出二次根式的定義：“形如（a≥0）的式子叫作二次根式”。這樣使學生明確二次根式的本質就是算術平方根。在此基礎上，學生只要已經掌握算術平方根的運算，就可以進行二次根式的計算，且容易理解為什么被開方數與根式結果都是非負數。但對于二次根式與算術平方根的區別，還需要進一步的引導。

第二階段（Process）：作為“程序”的二次根式運算。經過多次重復的“活動”以及基于活動的反思，學習者逐漸把“活動”內化為一個“程序”。在這一階段學習者不必具體實施就可以“想象”出“活動”結果，通過對“活動”進行思考，經歷思維的內化、壓縮過程，在頭腦中進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質，使學生對數學概念也有一個新的認識，從而改變對數學學科的看法。教學中，我們可以用一些二次根式的是否有意義及其結果的非負性等練習，讓學生體會到它是代數式，達到讓學生熟悉掌握概念。

判斷題（對的打“√”，錯的打“×”）。

（1）2=-（ ）；

（2）=-（ ）；

（3）-2=-（ ）；

（4）22=2×=1（ ）。

在第一階段的活動中，學生已經明確了二次根式的雙重非負性。因此在解上題時，學生抽象出二次根式的性質，不再局限于計算。

第三階段（Object）：作為“對象”的二次根式。符號表示a的算術平方根也可看作是一個式子。通過前兩個階段的學習，學生開始接受二次根式這一概念，并把它看作是一個式子，只是在計算時使用算術平方根的定義。在這一階段，我們可將二次根式的被開方數換成字母。

（1）當x是多少時，+x2在實數范圍內有意義？

（2）使式子有意義的未知數x有（ ）個。

A.0 B.1 C.2 D.無數

（3）若是一個正整數，則正整數m的最小值是________。

字母更具有代表性和一般性，將被開方數轉換為與字母相關的代數式，學生開始體會二次根式作為式的存在，并且在前期計算的基礎上，根據被開方數的意義，學生容易理解相關字母的取值，從而解決二次根式定義的概念教學。

第四階段（Scheme）：作為“圖式結構”的二次根式，它與整式、分式相同，都是用基本運算符號把數或表示數的字母連接起來的式子，這些式子統稱為代數式。既然是代數式，它就會有自身的特點，利用這種特點就可以解決相應的問題。

（1）若+有意義，則=_____。

（2）已知a、b為實數，且+2=b+4，求a、b的值。

（3）已知+=0，求x、y的值。

這類題就需要學生充分掌握二次根式的特點，同時也是檢驗學生是否達到要求的標準。

三、理論應用的反思

雖然APOS理論反映了學生學習概念的思維過程，但按這樣的過程進行教學時，由于各種因素的影響，有時可能使教學達不到預期效果。

1.課堂不能兼顧每個學生的概念理解

由于每個學生的知識基礎不一樣，所擁有的經驗也不同，這使得他們在理解概念的過程中會產生差異。大部分學生都能達到第四階段的要求，但有部分學生只能達到第三階段的要求，甚至可能是第一或第二階段的要求。這是因為該理論只考慮到學生學習概念的過程，而沒有考慮到學生的學習能力差異。

2.是否所有的數學概念都適用APOS理論

有些數學概念學生之前沒有任何了解，也沒有任何知識基礎，如人教版初中數學中方差是為了表示數據的穩定情況，學生之前沒有相關的數學知識，這個概念是為了統計的需要而定義的。其實人教版的教學要求也只是讓學生能了解方差并能計算，不需要進一步理解。有些概念學生在生活中已經有深刻的接觸，數學中只是給它們一個定義，如全等圖形是生活中最常見的，軸對稱圖形是很多建筑中經常使用的，數學中只是給它們一個名稱。

3.學生對數學概念的理解是否都要達到“圖式結構”的要求

有些概念本身比較抽象，對初中生來說，理解比較困難，且《初中數學課程標準》中對它們的要求也只是了解。如函數是表示變量之間的數量關系，當其中一個變量取任何一個值時，另一個變量都有唯一的一個值與之相對應，這時稱另一個變量為其中一個變量的函數。假如另一個變量有兩個或以上的值與之相對應，則它就不是其中一個變量的函數。學生要理解這種數量關系，已經比較困難，如果還要達到“圖式結構”的要求，這就超越學生的認知水平了。

APOS理論真實地反映了學習數學概念的思維過程，它不僅指出學生的概念學習是建構的過程，還指明了建構的層次；既強調了概念形成對過程的體驗，還強調了概念建構的最終結果——在腦海里建立綜合的心理圖式；既重視學生的概念學習的特點，又關注了概念之間的邏輯體系。APOS理論解釋了數學概念學習的本質，是具有數學學科特色的學習理論，事實上，APOS理論指導下的數學概念的學習，本質上更強調學生的思維能力的培養和鍛煉。

參考文獻：

1.顧伶沅.數學學習的心理基礎與過程.福建教育，2009，（7）：23-25.

2.施俊進.關注已有經驗促進自主建構——“二次根式（1）”課堂教學實踐與反思

（作者單位：浙江省溫嶺市石塘鎮中學）