展示思維過程 揭示數學本質

劉偉光

摘 要：數學的本質在于數學的思維，是用數來揭示規律的學科。本文從幾個方面闡述了數學的課堂教學中，怎樣展示數學展示思維過程，揭示數學本質，并進一步培養學生數學思維能力，總結數學方法，形成數學思想，提煉數學精神。

關鍵詞：展示思維過程；提示數學本質；學生體驗學習

數學的本質是什么？對數學的本質的理解與把握將決定一個數學老師的教學觀和教學方法、手段。在初中階段，一般認為，數學的本質主要是對數學基本概念的理解，對數學思想方法的把握，以及對數學特有思維方式的感悟。不管每堂課的目標是什么，但從數學的本質看應該都是一樣的，數學的課堂教學其實就是師生間的這種“思維過程”的教學，也就是說數學的課堂教學一定要重視展示獲得知識以及運用知識的數學思維過程。讓學生要在教師的引領下，從特殊的、具體的事物中去發現和抽象并總結出一般的規律，在獲取知識和運用知識的過程中去發現和領悟數學思學形成過程、發展過程再現出來，并讓學生通過總結一般規律，知其然并知其所以然。

一、教材的知識結構與學生的認識水平之間是存在差異的，教師在教學過程中要關注設計教學活動過程，展示知識發生、形成、發展的過程，使之貼合學生的認知水平

數學教材編寫呈現的是知識的邏輯體系，隱含了知識的發生、發展、形成的過程以及抽象概括的思維過程，但是學生的認識水平與教材知識結構之間往往存在較大差異，對學生來說是不利于他們學習的。而教學內容則來自于教師對教材內容及學生實際情況需要的綜合加工，也就是說，教師要對教材內容進行調整，要通過增減知識鏈的形成發展過程，更好地展示知識的發生、發展、形成的過程，讓學生充分理解、體驗這個過程，從而形成良好的思維品質和合理的數學知識結構，更好地促進有效的數學課堂教學。

在浙教版七上第120頁5.3一元一次方程解法第2課時中，兩道例題：

例 解下列方程：

（1）= （2）-=x

第1道題學生的問題不會很多，但第2道題，學生在做同類型題時，最容易出現的問題就是沒有分母的那一項沒有乘以最小公倍數民，也就是說漏乘了一項。

查看這一課時的教學建議有一條“去分母時不要漏乘不含分母的項”。那么教師在教學過程中要怎么讓學生體驗、理解這一點呢？

前幾天，筆者剛好聽了一堂數學公開課，上的就是一元一次方程的解法，教師在講解的過程是這樣的：

師：要消去分母，應該怎樣做？生：兩邊都要乘以10

去括號，得：2x-15+10x=10x

移項，得：2x+10x-10x=15

合并同類項，得：2x=5

兩邊同除以2，得：x=7.5

完成后，教師歸納解一元一次方程的解題步驟，強調了不能漏乘，有幾項就要乘幾個最小公倍數。

筆者感覺這個例題的教學沒有讓學生真正理解“去分母時不要漏乘不含分母的項”，沒有真正理解就會導致將來解題時會按自己的理解去做，就在以后的解題錯誤中埋下伏筆。

但是，在這個例題的教學過程中，教師如果在兩邊同乘10時，讓學生多寫兩個步驟，兩邊同乘以10，-×10=x×10得

去括號×10-×10=x×10得

最后讓學生總結過程時再進行說明，這樣的話，學生就會知道、理解并記住為什么不含分母的項的那項也是要乘最小公分母的，相信在以后的解題過程中，遇到此類問題會減少犯同樣的錯。

二、數學問題永遠是促進學生思維的主要動力，教師要善于利用數學問題，展示數學思維的過程，引發學生思考，揭示數學本質，讓學生體驗怎樣去分析、思考，并通過學生自己的學習，構建出新的數學認知結構

七年級上數學每課一練第55頁整式的練習中，有一道這樣的題，如圖是一塊長方形的草坪，草坪長30米，寬20米，草坪上開有十字形小路，小路寬x米。用x的代數式表示草坪的面積，當x=1.5時，求草坪的面積。

這道題，七年級學生他們理解的能用的方法是小學生的思維過程：草坪面積=整個長方形面積-小路面積。

但是，這樣的思維方式明顯有局限性，例如，如右圖那樣的小路，又應該怎樣分析？

為解決這個問題，讓學生充分理解解題的方法，我設計了如下問題：

1.如右圖所示，如果小路只有一條且小路的寬度是x米，那么草坪的面積如何計算？

分析：如果將草坪的左邊地塊的部分向右移動x米，會怎樣？學生形成結論，與右邊地塊仍會拼成一個長方形草坪，且草坪的長為（30-x）米，而寬為20米不變，面積變成（30-x）米乘以20米。

2.若開的路是如圖的折線形，寬度仍舊是x米，那么草坪地塊的面積是多少？

分析：同樣的思路，將左邊的地塊向右移動x米，與右邊地塊拼成一個長方形草坪，草坪面積還是原來的變成（30-x）米乘以20米。

3.若開的路是如圖的曲線，路的寬度仍舊是x米，那么草坪的面積是多少？

分析：同樣的思路，將左邊的地塊向右移動x米，與右邊地塊拼成一個長方形草坪，草坪面積還是原來的變成（30-x）米乘以20米。

通過這樣的幾道習題，教師展示出了這類題目的根本思維過程，通過移動、拼湊，草坪的總面積還是一個長方形，是不需要分塊計算的，這樣計算草坪的面積就變得簡單。

所以這個習題的本質是：通過平移，將草坪移動到一塊，這一塊草坪面積應該是（30-x）（20-x）平方米，在將來遇到同樣的問題就能用同樣的方法來解決。

三、習題是檢驗學生掌握數學知識的工具和手段，教師對于習題的講解，也要展示知識點的數學思維，提示數學本質，幫助學生鞏固和加深對數學知識的體驗、理解，引導學生在問題的數學的本質中去分析、提煉，提煉出一類問題的解決方法

例 蘭溪市2015學期第一學期期末考試中的第16題：

如圖，∠AOC=60°。將一把三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°。

（1）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，則∠CON的度數是______；

（2）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，則∠AOM-∠NOC的度數是________。

第1小題沒有什么問題，第2小題重點分析，找出這個問題的本質。

師：∠AOM、∠NOC兩個角度數能先求出來嗎？

生經過思考：不能，因為這兩個角度是不定的，大小會變，所以求不出來。

師：那就是說，通過先求兩個角度數再求差這種方法已經行不通。再找哪種情況下以點O為頂點的角中有沒有特殊角？

生：有，∠MON=90度，∠AOC=60度，∠COB=120度。

師：其中∠MON，∠AOC從位置上有重疊部分嗎，是什么？

生：是∠AON。

師：再想想，能不能在這個角上找解決方法。

生經過思考：∠AOM與∠NOC兩個角都同加上∠AON，即∠AOM-∠NOC=（∠AOM+∠AON）-（∠NOC+∠AON）=∠MON-∠AOC=90-60=30度。

由數學學科自身的特點決定了數學教學就是數學思維活動的教學，數學的本質是讓學生在學習中體驗數學思維。北京師范大學周玉仁教授曾經說過“只要是學生能自己探索得出的，教師就決不能替代；凡是學生能獨立思考的，教師就決不能暗示”，教師要做的是把獲取知識和運用知識的思維過程充分展示、揭示給學生，讓學生在這樣的教學過程中體驗、感受數學知識，形成自己的數學認知。

參考文獻：

1.卜以樓.數學本質教學的個案研究.

2.呂林海.從理性思維到深層理解：數學教學的實質性關注.

3.陳厚德.有效教學[M].北京：教育科學出版社，2000.

（作者單位：浙江省縉云新碧中學）