立方拋物線形斷面收縮水深的直接計算研究

陳 誠，龔 懿，王 潔，嚴岳同，胡 璟

(1．揚州大學水利與能源動力工程學院，江蘇 揚州 225009；2．宿遷水利樞紐管理局，江蘇 宿遷 223800；3．江蘇省洪澤湖水利工程管理處，江蘇 洪澤 223100)

近年來，隨著施工技術的不斷發展，在渠道工程設計中已由原來單一的梯形斷面向多元化形式發展[1]，拋物線形渠道以其斷面連續性好，易于計算和制作模型、水力及力學性能良好等優點在渠道襯砌與防滲工程中逐漸得到應用，其中以二次、立方和半立方拋物線形斷面最為常見，其斷面曲線方程的指數n分別為2、3和3/2。張麗偉和滕凱[2]、范子龍和趙明登[3]通過計算分別證明當n=3.35時，對應的最佳水力斷面為拋物線類渠道的最優斷面，因而立方拋物線形斷面是最接近拋物線類渠道最優斷面的一種常見的斷面形式。

以往在明渠斷面特征水深近似計算公式的推求過程中，通常是根據經驗人為地選取函數模型進行逐次優化擬合，對于一些線型復雜的曲線，適合的函數模型往往很復雜[4-7]，大大提高了模型尋找和求解的難度。為解決現有的立方拋物線形斷面收縮水深計算公式[8-12]精度不夠高的問題，同時避免復雜擬合函數模型尋找過程中存在的盲目性，本文提出明渠特征水深計算的迭代逼近-逐次優化擬合方法，擬通過迭代法和逐次優化擬合方法的聯合運用直接推求高次方程的近似解析解，建立一套高精度的直接計算公式，為明渠特征水深直接計算方法的研究提供有益的參考。

1 無量綱收縮水深基本方程

如圖1所示，立方拋物線形斷面的曲線方程為：

(1)

式中：a為立方拋物線形斷面的形狀參數，m-2。

圖1 立方拋物線形過水斷面Fig.1 Cubic parabolic cross-section

根據水力學原理，由能量守恒方程推得的收縮水深基本方程為：

(2)

式中：E0為以收縮斷面底部為基準面的過水建筑物上游總水頭，m；hc為收縮斷面處的水深，m；Q為過水流量，m3/s；g為重力加速度，通常取9.81 m/s2；φ為流速系數，一般取0.80～1.00；Ac為收縮斷面處的過水斷面面積，m2。

立方拋物線形渠道收縮斷面處過水斷面面積：

(3)

引入無量綱收縮水深x和無量綱參數k：

(5)

將式(3)、式(4)和式(5)代入式(2)并整理得：

(6)

式(6)即為關于立方拋物線形斷面無量綱收縮水深x的基本方程。實際工程中，可根據式(5)通過已知參數求得k值，但無法由k對x直接進行求解。

2 直接計算公式的建立

2.1 迭代逼近-逐次優化擬合方法

本文提出高次方程近似求解的迭代逼近-逐次優化擬合方法，建立立方拋物線形斷面無量綱收縮水深的精確計算公式。對式(6)進行簡單的數學變換，可得如下迭代公式[8,10,12]：

(7)

式中：x0為迭代初值；xi為x0經i次迭代后得到的數值。

設迭代初值為x0，兼顧公式的精確性和簡捷性，將其帶入式(7)連續迭代3次，整理得：

(8)

式(8)實質上為一個迭代公式，在計算過程中需給定一個迭代初值計算公式由k計算x0的值，再將x0代入式(8)進行迭代計算。故(1-x0)3/8、(1-x0)9/642項均為常量。將除k和1外的7個常量作為未知的擬合參數進行逐次優化擬合，根據式(8)可得如下擬合函數模型：

(9)

實際工程中，一般取無量綱收縮水深x∈[0.01,0.50][8-11]，每隔一定步長在該區間內給定一個x值，將其代入式(6)算得相應的k值，以式(9)作為擬合函數模型，運用Matlab 8.5軟件的Curve Fitting Toolbox工具箱對所得的計算點進行逐次優化擬合，參照各參數的初始值反復進行參數率定，最終建立一套直接計算公式(擬合相關系數為1.000 0)。

(10)

2.2 現有的各類計算公式

目前相關水利專家學者共計提出5套立方拋物線形斷面收縮水深的直接計算公式[8-12]，均通過引入無量綱參數來計算收縮水深，其中趙延風等[10]公式和滕凱[11]公式是拋物線類斷面收縮水深計算的通用公式，將n=3代入得到相應于立方拋物線形斷面收縮水深計算的公式形式。各類計算公式具體見表1，其中λ、ψ、k′為計算過程中引入的中間變量，其他符號意義同前文所述。

3 誤差分析與精度評價

3.1 本文公式的誤差分析

為驗證本文公式的精確性，在[0.01,0.50]區間內以一定步長選取不同的xi，以此作為無量綱收縮水深的精確值x*，將其代入式(6)算得與之相對應的k值，將k作為已知參數代入式(10)，算得無量綱收縮水深的近似值x′，并根據式(11)計算相對誤差δ(保留至小數點后第6位數字)，計算結果見表2。即：

(11)

表2及進一步計算結果表明，在工程適用范圍內，式(10)的最大相對誤差絕對值僅為0.117 592%。以0.000 1為步長，計算式(10)相對誤差曲線在[0.01,0.50]區間內的4 901個點的相對誤差，分別取絕對值之后計算其平均值，得式(10)的平均相對誤差絕對值為0.056 328%，誤差小于0.1%的點占80.7%以上。本文將迭代逼近-逐次優化擬合方法用于明渠特征水深計算，建立的直接計算公式在工程適用范圍內的相對誤差均較小，具有很高的計算精度。

表1 現有的各類直接計算公式Tab.1 Presently available direct calculation formulae

表2 本文公式相對誤差分析Tab.2 Relative error analysis of the proposed formula

3.2 各類公式的精度評價

根據式(11)，用同樣的方法計算各類公式在[0.01,0.50]區間內的相對誤差，并計算其最大相對誤差絕對值和以0.000 1為步長的平均相對誤差絕對值，計算結果見表3和圖2。其中，圖2繪制的是各直接計算公式和迭代初值計算公式的相對誤差分布圖，且略去相對誤差絕對值大于1%的部分。

表3 現有計算公式相對誤差Tab.3 Relative error analysis of the existing formulae

圖2 各類公式相對誤差分布圖Fig.2 Distribution curve of relative errors of the existing formulae

根據表3和圖2，當x∈[0.01,0.50]時，式(10)的最大相對誤差絕對值小于現有的5套直接計算公式，比冷暢儉等[8]公式、趙延風等[10]公式和代述兵等[12]公式迭代1次的精度更高。本文提出的直接計算公式通過較小的計算量實現了立方拋物線形斷面收縮水深的精確計算，體現出迭代逼近-逐次優化擬合方法在明渠特征水深計算中的優越性。

4 應用舉例

選用與文獻[8]、[9]相同的算例，已知某閘前斷面總水頭E0=15 m，通過渠道的流量Q=162 m3/s，流速系數φ=0.95，若采用立方拋物線形斷面渠道，其斷面曲線的方程為y=0.2|x|3，取重力加速度g=9.81 m/s2，求閘后斷面收縮水深hc的值(保留至10-6m)。

(1)計算無量綱參數k。將已知參數代入式(5)得：

(2)計算無量綱收縮水深的近似值x。將k值代入式(10)有：

(3)計算收縮水深hc。將x值代入式(4) 計算hc：

hc=xE0=0.200 162 760×15=3.002 441(m)

通過試算法求得本算例收縮水深的精確值為3.003 480 m，相對誤差僅為-0.035%，計算精度完全滿足實際工程應用的要求。

5 結 語

本文提出高次方程求解的迭代逼近-逐次優化擬合方法，通過迭代算法和逐次優化擬合方法的聯合運用直接推求高次方程的近似解析解，并將其運用于明渠特征水深的計算，建立了一套立方拋物線形斷面收縮水深的高精度計算公式，在工程適用范圍內其最大相對誤差絕對值小于0.118%，較好地彌補了現有的各類直接公式及迭代初值計算公式精度不夠高的問題，且計算較為簡便，不需要通過反復的迭代過程提高計算精度。立方拋物線形斷面明渠水力條件較優，本文直接計算公式的提出，可為該類渠道的設計和運行管理提供有益的參考。

本文提出的迭代逼近-逐次優化擬合方法具有一定的理論創新意義，通過迭代逼近的過程建立合適的擬合函數模型，參考各擬合參數的初始取值進行參數率定可保證參數求解過程的收斂，為高次方程的近似求解提供了一條新的思路，對各類斷面明渠及隧洞的特征水深計算有一定的實用參考價值。在今后的研究中，需進一步考慮如何通過迭代逼近的過程較好地建立擬合函數模型，以及如何合理地選取擬合參數用于曲線擬合，從而提高計算精度。

□

致謝：感謝揚州大學水利與能源動力工程學院院長程吉林教授和副院長吉慶豐教授在論文寫作過程中給予的悉心指導和幫助。

[1] 張志昌，賈 斌，李若冰，等．拋物線形渠道的水力特性[J]．水利水運工程學報，2015，(1)：61-67．

[2] 張麗偉，滕 凱．拋物線形斷面最優水力參數及方程指數計算方法[J]．水利水電科技進展，2014，34(5)：65-68．

[3] 范子龍，趙明登．冪律形水力最佳斷面設計與正常水深計算方法[J]．中國農村水利水電，2015，(9)：157-159．

[4] Vatankhah A R．Direct solutions for normal and critical depths in standard city-gate sections[J]．Flow Measurement and Instrumentation，2012，28：16-21．

[5] Zhang X Y，Wu L．Direct solutions for normal depths in curved irrigation canals[J]．Flow Measurement and Instru-mentation，2014，36：9-13．

[6] 張新燕，呂宏興．無壓圓形隧洞正常水深直接算法[J]．水力發電學報，2014，33(1)：127-131．

[7] 張新燕，呂宏興，朱德蘭．U形渠道正常水深的直接水力計算公式[J]．農業工程學報，2013，29(14)：115-119．

[8] 冷暢儉，王正中．三次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算公式[J]．長江科學院院報，2011，28(4)：29-31，35．

[9] 謝成玉，滕 凱．三次拋物線形渠道斷面收縮水深的簡化計算公式[J]．南水北調與水利科技，2012，10(1)：136-138．

[10] 趙延風，王正中，劉計良．拋物線類渠道斷面收縮水深的計算通式[J]．水力發電學報，2013，32(1)：126-131．

[11] 滕 凱．拋物線形斷面渠道收縮水深簡化計算通式[J]．水利水電科技進展，2014，34(5)：61-64．

[12] 代述兵，劉韓生，卞曉衛，等．三種拋物線形斷面收縮水深的直接計算公式[J]．長江科學院院報，2015，32(9)：90-93．