基于Riccati方程和LMI算法的H∞控制器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

劉文秀，郭 偉

(1.韶關(guān)學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512000；2.廣東松山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512000)

基于Riccati方程和LMI算法的H∞控制器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

劉文秀1，郭 偉2

(1.韶關(guān)學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512000；2.廣東松山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512000)

H∞控制是一種重要的魯棒控制方法，它以H∞范數(shù)作為控制性能指標(biāo)，是一種最優(yōu)控制方法，目的是求出系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的控制器，使閉環(huán)傳遞函數(shù)的無(wú)窮范數(shù)極小，達(dá)到控制的目的；以固高公司的直線一級(jí)倒立擺為控制對(duì)象，實(shí)現(xiàn)基于Riccati方程和LMI算法的H∞控制器設(shè)計(jì)，采用M文件及simulink實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)建模、控制器的設(shè)計(jì)，完成系統(tǒng)算法的驗(yàn)證；實(shí)驗(yàn)表明，控制器的輸出、倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)變量變化平穩(wěn)，系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性，系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，驗(yàn)證了H∞控制器的有效性。

倒立擺；控制器；魯棒控制；狀態(tài)反饋

0 引言

直線一級(jí)倒立擺及其載體的運(yùn)動(dòng)模型是一個(gè)復(fù)雜的典型多變量、非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，它能反映控制過程中很多關(guān)鍵的問題，大多數(shù)控制理論的成果驗(yàn)證都是以倒立擺為研究對(duì)象。且由此產(chǎn)生的控制理論控制方法在工業(yè)加工領(lǐng)域、機(jī)器人技術(shù)、航空技術(shù)等方面都有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。以直線一級(jí)倒立擺為研究對(duì)象，采用一種重要的魯棒控制方法——H∞控制方法[1]，利用Riccati方程和線性矩陣不等式LMI算法,分別設(shè)計(jì)出使系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的控制器，達(dá)到閉環(huán)傳遞函數(shù)T(s)的無(wú)窮范數(shù)極小，實(shí)驗(yàn)證明控制器設(shè)計(jì)合理，在實(shí)際應(yīng)用中是可行有效的。

1 問題描述

對(duì)于圖1中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為:

(1)

圖1 一般控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求[2]為：

1)x=0是閉環(huán)系統(tǒng)的局部漸進(jìn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即對(duì)于任意初始狀態(tài)x(0)?R4,x(t)→0。

(2)

式中，qi≥0(i=1,2,3,4)和ρ>0為加權(quán)系數(shù)，令:

(3)

則式(2)等價(jià)于:

(4)

定義TW(s)為W到z的閉環(huán)傳遞函數(shù)，表達(dá)式為：

(5)

則閉環(huán)系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制性能等價(jià)于:

(6)

2 H∞狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)

方法一：基于Riccati方程的H∞控制器設(shè)計(jì)[3]

針對(duì)表達(dá)式(1)的系統(tǒng)，當(dāng)Riccati方程:

(7)

最后，美國(guó)政府在執(zhí)行制裁政策時(shí)會(huì)采取個(gè)案審查原則，綜合考慮個(gè)案特殊情況，再做出是否予以制裁的決定。例如，海外資產(chǎn)控制辦公室規(guī)定了專門的特殊許可制度，對(duì)那些本應(yīng)受到制裁的行為，如果通過海外資產(chǎn)控制辦公室的個(gè)案審查并得到許可，就可以免受制裁。

方法二：基于線性矩陣不等式LMI的H∞控制器的設(shè)計(jì)[4]

(8)

成立,則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器為:

(9)

3 控制算法驗(yàn)證

圖2 直線一級(jí)倒立擺模型

系統(tǒng)以直線一級(jí)倒立擺為對(duì)象,驗(yàn)證控制算法。倒立擺系統(tǒng)參數(shù)來(lái)自固高公司生產(chǎn)的教學(xué)產(chǎn)品，相關(guān)參數(shù)[5]為：M代表小車質(zhì)量，大小為1.096 千克；m代表擺桿質(zhì)量，大小為0.109千克；b代表小車摩擦系數(shù)，大小為0 .1N/m/sec；l代表擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，大小為0.25m；I代表擺桿慣量，大小為0.0034kg*m*m；F代表水平方向加在小車上的力；x是輸出量小車的位置；φ是輸出量擺桿與垂直方向的夾角；T是采樣頻率，大小為0.005秒。

對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，線性化處理，得到系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的代數(shù)方程為：

(10)

寫成狀態(tài)空間表達(dá)式的形式為：

(11)

把系統(tǒng)參數(shù)代入表達(dá)式(11)，得到以外界作用力作為系統(tǒng)輸入的狀態(tài)方程為：

(12)

B1=[0；0；0.01；0.01], B2=[0；0；0.883 167；2.356 55]。

表達(dá)式(3)中取q1=1,q2=1,q3=1,q4=1,ρ=1。

3.1 基于Riccati方程的H∞控制器的驗(yàn)證

第一步：利用Matlab文件編寫程序計(jì)算出狀態(tài)反饋增益K。

將Riccati方程轉(zhuǎn)化為:

第二步：利用simulink建立系統(tǒng)仿真模型。

圖3 系統(tǒng)仿真模型

利用S函數(shù)建立控制器和倒立擺模型，并在simulink下建立仿真模型如圖3所示，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過繪圖指令可以得到系統(tǒng)響應(yīng)曲線，如圖4、圖5所示。

圖4 基于Riccati方程的H∞控制器下系統(tǒng)響應(yīng)波形

圖5 基于Riccati方程的H∞控制器下控制輸入波形

3.2 基于LMI的H∞控制器的驗(yàn)證

LMI工具箱中3個(gè)線性矩陣不等式求解函數(shù)，其中feasp解決可行性問題的求解函數(shù)。在具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，首先利用setlmis和getlmis函數(shù)確定線性矩陣不等式；利用lmivar描述出現(xiàn)在線性矩陣不等式中的矩陣變量；利用lmiterm描述每個(gè)線性不等式中的各項(xiàng)內(nèi)容；利用feasp函數(shù)實(shí)現(xiàn)不等式的求解；利用dec2mat將求解的結(jié)果按矩陣和向量的形式給出。對(duì)于直線一級(jí)倒立擺經(jīng)過Matlab編程，最后求出反饋增益矩陣為K=[-4.4142 -23.9698 -17.0090 -3.2006]，在此增益矩陣下，系統(tǒng)響應(yīng)和控制輸入波形如圖6、圖7所示。

圖6 基于LMI的H∞控制器的系統(tǒng)響應(yīng)波形

圖7 基于LMI的H∞控制器的控制輸入波形

4 結(jié)語(yǔ)

采用Riccati方程和LMI算法設(shè)計(jì)的H∞控制器對(duì)于直線一級(jí)倒立擺進(jìn)行控制[6]，給出兩種控制器的設(shè)計(jì)過程及方法。兩種控制方法都是以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提，設(shè)計(jì)出反饋控制器。理論上證明該方法可行，并且通過仿真驗(yàn)證，說(shuō)明設(shè)計(jì)的H∞控制器是可行的。

[1] 張 謙,高容翔,王海泉,等.基于人工蜂群優(yōu)化的環(huán)形二級(jí)倒立擺H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2015，23(8).

[2] 劉金琨.先進(jìn)PID控制MATLAB仿真[M].北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[3] 申鐵龍.H∞控制理論及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，1996.

[4] 俞 立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[5] 趙 迪, 常曉恒. T-S模糊系統(tǒng)量化H_∞濾波器設(shè)計(jì)[J]. 電子設(shè)計(jì)工程, 2015，21(16):112-115.

[6] 周曙光,李克儉,蔡啟仲,等.基于FPGA的PLC位信息輸出控制器設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制,2014,22(6)：145-165.

Design and Realization of H∞Controllers Based on Riccati Equation and LMI Algorithm

Liu Wenxiu1,Guo Wei2

(1.School of Physics and Mechanical and Electrical Engineering, Shaoguan University, Shaoguan 512000,China;2.Guangdong Songshan Polytechnic College, Shaoguan 512000, China)

H-infinity control is an important kind of robust control method, it with h-infinity norm as the control performance index, is a kind of optimal control method, purpose is to find the internal stability of controller, the infinite norm of the closed-loop transfer function, achieve the goal of control.With fixed high linear level inverted pendulum as control object, realize the Riccati equation and LMI algorithm based h-infinity controller design, the system is realized by using M documents and Simulink modeling, controller design, validation of the complete system algorithm, the experimental results show that the output of the controller, the change of the state variables of inverted pendulum system was stable, the system has strong robustness, the system shows good dynamic quality and effectiveness of h-infinity controller is verified.

inverted pendulum; controller ; robust control; state feedback

2016-08-25；

2016-09-21。

劉文秀(1980-)，女，內(nèi)蒙古通遼人，碩士，講師，主要從事從事自動(dòng)控制方向的教學(xué)及研究。

1671-4598(2017)02-0074-03DOI：10.16526/j.cnki.11-4762/tp

TP

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