“實際問題與二元一次方程組（2）”教學感悟

石巧莉

人教版初中七（下）第八章第三節的內容是實際問題與二元一次方程組.之前學生已經學會了二元一次方程組的解法，并能夠用二元一次方程組解決一些簡單的實際問題.這節課內容是實際問題與二元一次方程組的深入研究的第二課時——書上99頁探究二.教材題目如下：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1∶2.現要把一塊長200、寬100的長方形土地，分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物.怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4.

我們花一節課的時間來對這個問題進行分析、理解、列方程組、解答，但是效果并不明顯，一節課下來很多教師都有很深的困惑——學生理解不了題目，找不到等量關系，無法列出合適的方程組.對此，我對自己上完這節課之后的感悟做了如下分析.

一、教師高估學生的審題能力，學生無法把實際問題轉化成數學問題

在本題中，學生審題有兩大難點.一是學生無法用數學語言回答題目中的實際問題——怎樣劃分土地；二是兩塊地的“單位面積產量”與“總產量”都沒有給出具體的數據，學生無法分析出這兩個比例式所能推出的數據信息，換句話說學生不知道這兩個條件拿來怎么用.

第一個難點存在的原因在于，往常的數學應用題都會明確指出要求的未知量是什么，但是本題是讓學生自己去找一個方案來解決問題.這屬于一個開放性的題目，答案并不唯一.因此，學生一時之間不知道如何把它轉化為常見的數學問題，更不知道如何用數學語言表述出合理的方案.然而，這個問題學生很容易通過書上的提示得到突破，就是把這個長方形的長分成兩段，設出長度，再通過數學工具求出來就好.

對于第二個難點的突破，多數教師先選擇用實際數據讓學生理解，先讓學生回憶起總產量等于單位面積產量乘以面積這樣一個關系，這樣通過具體數據的展示和計算，學生就容易理解二者的關系.而當題目中的兩種作物的單位面積產量和總產量都沒有出現具體數據，而是一個比例關系時，很多教師就進一步引進第三參數來理解.但是，對初一的學生而言，他們可能不容易掌握這種設而不求的思想方法，而且在接觸三元一次方程組之前，學生見到三個未知數可能本能地就會產生畏難情緒.所以本題是否設置新的參數引起了很多教師的爭議.

二、學生認知水平的提高必須循序漸進，教師對復雜的問題可以分層突破、步步為營

對于本題第二個難點的突破，我第一步也是用數據讓學生認識到面積、單位面積產量、總產量之間的關系.第二步，為了讓學生更清晰地理解本題中產生的兩個比例式之間的聯系，在講解本題之前，我為學生先設置了幾個類似題目相關填空題，讓學生逐步突破難點.

1.有兩塊土地的面積之比為1∶1，分別種上甲、乙兩種作物，且其單位面積產量的比是1∶2.則此時甲、乙兩種作物的總產量之比應該是________________.

2.有兩塊土地的面積之比為2∶1，分別種上甲、乙兩種作物，且其單位面積產量的比是2∶3.則此時甲、乙兩種作物的總產量之比應該是________________.

3.有兩塊土地的面積之比為________________，分別種上甲、乙兩種作物，且其單位面積產量的比是1∶2.則此時甲、乙兩種作物的總產量之比應該是2∶3.

顯而易見，這三個小問的設置可以讓學生充分認識到兩塊土地面積之比、兩種作物單位面積之比、兩種作物總產量之比這三者的相互關系，由于已經有了總產量等于單位面積產量乘以面積的認識，這三個小問學生做起來并不困難，唯一要注意的就是數據的計算與化簡.

第三步，我再讓學生打開教材細讀本題題目，讓他們分析讀完題目之后的感受.由于有了前面兩個步驟的鋪墊，學生對本題的難點迎刃而解，瞬間求出來本題的答案就是把這塊長方形土地分成3∶2的兩塊地.

三、學生的思維依舊習慣感性模仿型思維，不習慣用數學模型的思想分析問題

當我與學生一起探究出本題問題實質之后，學生的目的非常明確，就是把長方形劃分成兩個3∶2的小長方形.可是對于接下來的解答，學生們的形式多樣，讓我始料未及.比如，

方案一：學生用算數的思想思考，長方形的寬一定時，長之比就等于面積之比.所以他只需要把這個大長方形的長分成3∶2就可以了.這個方案由于只涉及小學知識，簡潔易懂，所以很多學生采取這個方法.

方案二：根據課本教材的提示把原來長方形的長設為x，寬設為y，接下來用建立二元一次方程組的模型求解.可是他們列的方程組讓人哭笑不得.

當這些不恰當的方程出現時，我才發現原來學生的思維依舊是算數的思想，感性的思維.他們對于數學模型的理解，甚至對于二元一次方程組的理解完全停留在只要有兩個未知數的方程就是二元一次方程的形式中.為了引導學生正確地列出方程組，我就引導他們思考：

1.你們所列的方程組是不是二元一次方程組？學生才發現這些方程都不是二元一次方程組，因為分母上不能含有未知數.要把這些比例式的方程轉化成我們標準的二元一次方程組的形式，只需要利用比例式的性質——內項之積等于外項之積就能輕松實現.

2.你們所使用的數據是不是題目中的原始數據？3∶2是怎么來的？可以怎么改進？在這個問題中，學生們終于意識到3∶2是我們在審題時通過數據分析中得到的一個結果，在題目中并沒有出現，所以，不能直接引用.同時，在計算過程中能用乘法時就不用除法，能用加法時就不用減法.所以，最后大家通過討論得到了一個新的方程組：

通過一系列的引導和糾正，學生總算是回歸正軌，找到本題列方程組的正確方法.只是在這個過程中，教師產生了深深的挫敗感，同時，也對學生的認知水平有了進一步認識.他們對數學概念的認識從感性上升到理性思維確實需要很長時間，這是一個漫長的訓練過程，教師只能不斷引導和訓練，才能逐步提升他們整理信息、分析問題、解決問題的能力.