張冬蘭

數學操作是以“問題探究”為導向，以“數學思考”為內驅的一種動作認知學習方式，是落實“主體性”理念的重要方式。

一、操作學具與數學特性一致

操作學具是數學操作學習活動的媒介，不是科技制作，亦非兒童玩具，因此不必過分追求技術含量的高低與外表的美觀與否。只要能直觀外化內在數學知識特性，有利于學生發現問題和分析問題的，就是好學具。基于有效的才是最好的。任何一個數學概念，它的操作介質是多樣的，教師要務實地審視、選擇學具，提高操作活動的有效性。

例如，教學人教版“三角形三邊關系”一課，不少教師采用“紙條”作為操作學具。筆者認為該做法是欠妥的，原因有兩點：①紙條不具有線“細”的特征，當演示特例“兩邊之和等于第三邊”時，用有寬度的紙條難以發現圍不成的現象。②紙條不具備刻度，學生看不到量，難以從量的大小上去分析問題。實際上對三角形三邊關系的研究，教師要引導學生透過直觀的“形”過渡到對“量”的分析與描述，揭開三角形三邊關系的本質特性。據此，筆者利用有刻度的軟墊板作材料自制學具（如圖1所示）：分別制作紅、黑兩組線段，每組都由9cm、7cm長的兩條線段組成。教師啟發操作：①想一想：利用紅（或黑）線段圍三角形，可是都只有兩條，該怎么辦？②剪一剪：利用手中的兩組線段嘗試兩種剪法（一種是將長線段剪成2條線段，另一種是將短線段剪成2條線段）。③圍一圍：分別用紅、黑線段圍三角形，你發現了什么？

通過“剪”與“圍”，學生發現剪短線段的方法圍不成三角形，而剪長線段的方法能圍成三角形。兩種不同的結果激起學生的認知沖突，使學生進一步追尋原因。此時，教師引導學生將圍不成三角形的上面兩條線段往下壓一壓（如圖2所示），進行觀察。學生會發現兩條線段接不起來，形不成三角形，是因為3cm+4cm=7cm，7cm<9cm，此時真相大白，學生知其然且知其所以然。自制的操作學具，符合數學知識特性，能引發學生的數學思考。因此，這樣的操作學具是有效的。

二、操作過程與思維過程一致

兒童的智力活動是與他對周圍物體的作用密切聯系在一起的，也就是說，兒童的理解來自他們作用于物體的活動。兒童在操作過程中所獲得的感性經驗是支撐數學理解、想象、推理等間接數學思維活動的橋梁。教師引導學生進行數學操作，不能將目標僅定位于操作本身，只有當操作的內容、方法、順序等合乎數學原理，與數學思維一致時，學生才能實現正確的抽象與概括，形成數學概念與法則，操作才有效。

例如，進行退位減法“62-46”的操作，是要在6個十和2個一的小棒中拿走4個十和6個一。由于學生平時看書、寫字習慣“從左往右”，導致學生往往先從6個十中拿走4個十剩2個十，接著又從十位上打開1個十為10個一，直接從10個一中拿走6個一，得出結果16。這樣的操作活動僅能算出62-46的結果，與計算法則“從個位算起，個位不夠向十位退一”的思維過程不一致。豎式計算時，學生頭腦中對豎式筆算運算順序的數學思考與操作活動所獲得的直接經驗對接不上，使前面的操作活動成為游離于教學目標的形式化活動。教師應基于學生對數學思考建構的高度，精心設計操作活動的順序。可引導學生邊思考邊操作：①思考，從個位減起，個位上只有2根小棒，要拿走6根，不夠怎么辦？②操作“退一”，個位不夠，從十位上拿1捆過來，打開與個位合并。③反思，“退一”后，個位上是幾減6？十位上是幾減4？為什么？操作始終與思考相結合，學生動手操作的過程就是數學思考的過程。

三、操作時機與難點突破一致

操作時機是指在一堂課中操作介入的時間。準確地把握操作介入的時機，是有效操作的重要保證。然而，一些教師對操作的目標達成與作用導向認識不清，未能及時把握為突破“難點”而操作這個最佳時機，而是隨意操作，表面熱鬧卻功效甚微。

例如，上述退位減法“62-46”的教學中，多數教師在引出豎式后馬上組織學生操作：62減46等于幾？怎樣算呢？請用小棒擺一擺。結果生成了各種各樣的擺法。可以看出，此時的“擺”純屬一種操作活動，偏離以“擺”促思，以“擺”釋疑的根本意圖。事實上，本節課的“擺”更多的是為幫助學生思考并積累“退一”中“變與不變”的感性經驗。基于突破難點的目標，引出豎式后教師不應急于組織學生“擺”，而應先喚醒筆算經驗，引導思考：筆算加減法，從個位算起，可這里個位上2減6，不夠減怎么辦？然后組織討論，統一觀點：向十位退一。此時學生躍躍欲試，處在“心求通而未得，口欲言而未達”的憤悱狀態，操作時機成熟。教師及時拋出3個問題，讓學生帶著問題去操作：①怎樣“退一”？②“退一”后什么變了？什么沒變？③“退一”后，被減數個位的數變成了幾？十位的數變成了幾？有“擺”的經驗支撐，教師再把被減數的十位、個位生動地比作一個人身上的左、右口袋，把小棒從左邊的口袋拿到右邊的口袋，兩個口袋的小棒數變了，但總數不變。學生就能深刻地理解“退一”的內因，感悟“變中不變”的數學思想。同時，操作將數與形、理與法對應溝通起來，使被減數十位上“6”→“5”，個位上“2”→“12”的變化過程直觀化。本課的教學難點在操作中得以一一突破。

四、操作結構與經驗提煉一致

數學操作是揭曉知識特性的活動。任何知識都不是零碎的、彼此孤立的，而是按一定的邏輯關系組成的知識結構。數學知識的邏輯結構就構成了數學操作的邏輯結構。數學學習作為一種認知活動，是數學知識結構和學生原有數學認知結構相互作用，進而形成新的數學認知結構的過程。只有將數學操作縱橫溝通、相互整合，形成合理的知識結構時，才能跟學生已有經驗發生同化、順應，轉化成學生的認知結構，實現經驗的再提煉。

例如，人教版教材二年級下冊探究兩種情況的“平均分”方法，呈現了兩個例題。第9頁的例2是已知總數和份數，探求“平均分”的分法；第10頁的例3是已知總數和每份數，探求“平均分”的分法。兩種情況“平均分”的分法有不同之處，也有相通之處。教師如果孤立地教學這兩個例題，孤立地開展操作活動，留給學生的將是零碎的、繁雜的知識點。認知建構理論認為，學生能否有效地建構認知結構，在很大程度上取決于是否具有相對完整的數學知識結構。基于建構原理，在學生分別操作兩種情況的“平均分”方法后，教師應將兩種情況的“平均分”方法進行橫向、縱向的溝通與整合，可引導思考：兩種情況“平均分”的方法有什么不同？有什么相通之處？哪種情況的“平均分”方法又快捷又方便？像例2這種情況的“平均分”方法有點麻煩，能否通過“想乘法”6×（ ）=18，先想出每份數再平均分呢？這樣，通過溝通、比較、轉化，把零散的知識點的操作整合成具有結構性的操作，使學生獲得以“每份數”平均分是最優化方法的認知經驗。

數學操作姓“數”，其內涵豐富，只有當它蘊含著數學知識特性和數學學習原理時，操作才有效。

（作者單位：福建省上杭縣城東小學）