從一道課本習題談圖形內(nèi)角的求法

平時的學習過程中，我們要重視課本習題的解答，從解答過程中歸納解題的方法，達到舉一反三、融會貫通的效果.現(xiàn)以義務教育教科書《數(shù)學》蘇科版七年級下冊第34頁第5題為例加以說明，供同學們學習參考.

問題 如圖，從△ABC的紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE.若∠C=50°，求∠1+∠2的和.

【分析】本題要求∠1+∠2的和，觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)：∠1、∠2的補角分別為∠CED、∠CDE，應用△CDE的內(nèi)角和可以先求得∠CED與∠CDE的和.還可以把∠1、∠2看成是四邊形ABDE的內(nèi)角，即可得∠1、∠2、∠A、∠B的和為360°，只需要求得∠A、∠B即可解決問題，因此，仍然應用△ABC的內(nèi)角和求得∠A、∠B的和.

解：方法一 在△CDE中，

由∠C+∠CDE+∠CED=180°，∠C=50°，得：

∠CDE+∠CED=130°.

由∠1的補角為∠CED、∠2的補角為∠CDE，可得：

∠1+∠2+∠CED+∠CDE=360°，

所以∠1+∠2=230°.

方法二 在△ABC中，

由∠C+∠A+∠B=180°，∠C=50°，

可得∠A+∠B =130°.

在四邊形ABDE中，

由∠1+∠2+∠A+∠B=360°，得

∠1+∠2=230°.

【解法反思】本題方法一，借助于要求的一個角的補角將問題轉化為圖形中某個三角形的內(nèi)角，再應用三角形的內(nèi)角和加以解答；方法二，直接把所求的角看成是三角形或多邊形的內(nèi)角，應用多邊形的內(nèi)角和求得結果.這兩種方法，都能夠根據(jù)問題的條件，沒有把“∠1+∠2”分別看成是兩個角求解，而是把“∠1+∠2”看成是一個整體，體現(xiàn)了整體數(shù)學思想，使得解法簡捷.應用這兩種方法可以幫助我們解答這類問題.

應用1 如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù).

【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠C+∠D+∠E=310°，可求∠EAB+∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PAB與∠PBA的和，進一步求得∠P的度數(shù).

解：在五邊形ABCDE中，

∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°.

由∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，得：

∠EAB+∠ABC=230°.

由AP平分∠EAB，得：∠PAB=[12]∠EAB，

同理可得：∠ABP=[12]∠ABC，

所以∠PAB+∠ABP=[12]（∠EAB+∠ABC）

=115°.

在△ABP中，∠P+∠PAB+∠PBA=180°，

則∠P=65°.

【點評】本題靈活應用多邊形的內(nèi)角和公式、角平分線的定義和整體思想，先求得兩個內(nèi)角的和，再確定第三個角的度數(shù).

應用2 如圖，線段AD、CF、BE兩兩相交于點G、H、I.求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

【分析】把∠A與∠B、∠C與∠D、∠E與∠F分別看成是△ABH、△CDI、△EFG的內(nèi)角，再應用△GHI的內(nèi)角和求得∠G+∠H+∠I的值.

解：在△ABH中，

由∠A+∠B+∠AHB=180°得：

∠A+∠B=180°-∠AHB；

在△CDI中，

由∠C+∠D+∠CID=180°得：

∠C+∠D=180°-∠CID；

在△EFG中，

由∠E+∠F+∠EGF=180°得：

∠E+∠F=180°-∠EGF.

在△GHI中，

由∠EGF+∠CID+∠AHB=180°得：

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=（180°-∠AHB）+（180°-∠CID）+（ 180°-∠EGF）

=540°-（∠AHB+∠CID+∠EGF）=360°.

【點評】本題也可以把∠A與∠B、∠E與∠F分別看成是△ABH、△EFG的內(nèi)角，把∠C與∠D看成是四邊形CDGH的內(nèi)角，并根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°、三角形內(nèi)角和為180°，應用整體和轉化思想求得結果，請同學們自己完成解題過程哦！

（作者單位：江蘇省鹽城市鹽都區(qū)實驗學校）