淺談幾何與代數(shù)方法的有機(jī)結(jié)合思想

張濤　陳為華

【摘 要】幾何與代數(shù)有機(jī)結(jié)合思想促進(jìn)了人們對空間圖形認(rèn)識的變化，從而把幾何學(xué)推到一個新的階段，為代數(shù)學(xué)提供了新的工具，開拓了代數(shù)學(xué)的新的研究領(lǐng)域，為微積分的創(chuàng)立準(zhǔn)備了必要條件，加速了微積分形成的歷史進(jìn)程，為數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明提供了重要啟示。此外，幾何與代數(shù)的有機(jī)結(jié)合思想還給數(shù)學(xué)研究從方法論上提供了許多重要啟示，如把點(diǎn)與數(shù)對、曲線與方程相對應(yīng)的思想加以發(fā)展，提出了函數(shù)與點(diǎn)、函數(shù)集與空間相對應(yīng)的思想，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了泛函分析這一新的理論。

【關(guān)鍵詞】坐標(biāo)系法；幾何；代數(shù)；有機(jī)結(jié)合

1 坐標(biāo)系法

坐標(biāo)系法是解析幾何的基本方法，自17世紀(jì)上半葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾以力學(xué)的要求為背景，用代數(shù)化方法研究幾何內(nèi)容的課題開創(chuàng)了坐標(biāo)法的傳統(tǒng)，即幾何的代數(shù)化方法。

坐標(biāo)系法的基本思想是：引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使坐標(biāo)平面上點(diǎn)與數(shù)對（x，y）一一對應(yīng)，進(jìn)而曲線與含有兩個變量的方程建立一一對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系就是映射，在這種映射下，幾何關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系問題，然后通過代數(shù)運(yùn)算求出結(jié)果，再把所得的結(jié)果翻譯回去，就可以得到幾何關(guān)系問題所需要的結(jié)論。

坐標(biāo)本身是幾何代數(shù)化的產(chǎn)物，是點(diǎn)與數(shù)的統(tǒng)一體，它既是點(diǎn)的位置的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)，又是數(shù)量關(guān)系的幾何直觀，因此，它具有形與數(shù)的二重性。有了坐標(biāo)概念，就可以把空間形式的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究了。

例如，求兩點(diǎn)之間的距離，如果兩點(diǎn)的坐標(biāo)（x1，y1）和（x2，y2）給定，其距離就表示一個代數(shù)式■，于是，幾何學(xué)上兩點(diǎn)之間測量問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)學(xué)上求一個代數(shù)式的值的問題。

再如，求兩條曲線的交點(diǎn)，如果兩條曲線的方程給定，那么通過聯(lián)立方程組就可求得交點(diǎn)的位置，因?yàn)榉匠探M的解恰恰是兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)。

坐標(biāo)系法的另一研究與應(yīng)用方向就是代數(shù)的幾何化，即將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，其基本的思想是：通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使數(shù)對（x，y）與坐標(biāo)平面上點(diǎn)一一對應(yīng)，進(jìn)而建立含有兩個變量的方程與曲線一一對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系就是映射，在這種映射下，代數(shù)關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系問題，然后通過研究曲線的變化與性質(zhì)，再把所得的結(jié)果翻譯回去，就可以得到代數(shù)關(guān)系問題所需要的結(jié)論。

2 幾何與代數(shù)有機(jī)結(jié)合思想的理論價(jià)值及影響

2.1 促進(jìn)了人們對空間圖形認(rèn)識的變化，從而把幾何學(xué)推到一個新的階段

幾何與代數(shù)的有機(jī)結(jié)合不僅為幾何學(xué)提供了新的方法，使許多難以解決的幾何問題變得簡單易解，更重要的是為幾何學(xué)發(fā)展注入了新的活力，增添了嶄新的內(nèi)容。

首先，傳統(tǒng)邏輯學(xué)的基礎(chǔ)主要是推理，基本上是定性研究，如直線的平行性、曲線的相交、圖形的全等。幾何與代數(shù)的有機(jī)結(jié)合，使得圖形性質(zhì)的研究變成方程的討論和求解，而方程的研究主要是數(shù)量上的分析，這就把幾何學(xué)從定性研究階段推到定量分析階段。

其次，在傳統(tǒng)幾何學(xué)中，空間概念是在人們的社會實(shí)踐活動中逐漸抽象出來的，這種空間概念具有明顯的直觀性與經(jīng)驗(yàn)性，如一維的直線、二維的平面和三維的立體。幾何與代數(shù)的有機(jī)結(jié)合，使得空間的幾何結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了數(shù)量化，而數(shù)量化的空間幾何結(jié)構(gòu)已不再局限于一維、二維和三維，它可以是n維以至無窮維的，這就把幾何學(xué)從現(xiàn)實(shí)空間圖形的性質(zhì)推廣到抽象空間圖形的性質(zhì)。

第三，傳統(tǒng)幾何學(xué)主要研究固定不變的圖形，如各種各樣的直線形和曲線形，這些圖形雖然可以移動和相互變換，但圖形本身的結(jié)構(gòu)卻是不變的，即傳統(tǒng)幾何學(xué)是一種靜態(tài)的幾何學(xué)。幾何代數(shù)化的出現(xiàn)，使得曲線變成了具有某種特定性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡，即可把曲線看作是由點(diǎn)通過運(yùn)動而生成的，這就使人們對形的認(rèn)識由靜態(tài)發(fā)展到了動態(tài)。

2.2 為代數(shù)學(xué)提供了新的工具，開拓了代數(shù)學(xué)的新的研究領(lǐng)域

幾何與代數(shù)的有機(jī)結(jié)合不僅直接影響和改進(jìn)了傳統(tǒng)的幾何學(xué)，擴(kuò)大了幾何學(xué)的研究對象，豐富和發(fā)展了幾何學(xué)的思想方法，而且也使代數(shù)學(xué)獲得了新的生命力。

首先，幾何學(xué)的概念和術(shù)語進(jìn)入代數(shù)學(xué)，使許多代數(shù)課題具有了直觀性。與幾何學(xué)相比，代數(shù)學(xué)具有更高的抽象性，許多抽象的代數(shù)式和方程使人難以把握它們的現(xiàn)實(shí)意義。幾何代數(shù)化的出現(xiàn)，為抽象的代數(shù)式和方程提供了形象而直觀的模型。

其次，幾何學(xué)思想方法向代數(shù)學(xué)的移植和滲透，開拓了代數(shù)學(xué)新的研究領(lǐng)域。如以線性方程為主要對象的線性代數(shù)，就是在線性空間概念的基礎(chǔ)上構(gòu)造起來的，這里的“線性”、“空間”等概念并不是代數(shù)學(xué)本身所固有的，而是從幾何學(xué)中借用的。

2.3 為微積分的創(chuàng)立準(zhǔn)備了必要條件，加速了微積分形成的歷史進(jìn)程

幾何與代數(shù)有機(jī)結(jié)合的思想形成的標(biāo)志是解析幾何的創(chuàng)立，笛卡爾在創(chuàng)立解析幾何過程中，不僅提出了代數(shù)與幾何相結(jié)合的思想，而且把變數(shù)引進(jìn)了數(shù)學(xué)。變數(shù)的引進(jìn)，對于數(shù)學(xué)的發(fā)展有著極為重要的意義，特別是為微積分的創(chuàng)立準(zhǔn)備了重要工具，加速了微積分形成的歷史進(jìn)程。從這種意義上看，可把解析幾何的產(chǎn)生看作是微積分創(chuàng)立的前奏。

2.4 為數(shù)學(xué)的機(jī)械化證明提供了重要啟示

定理的機(jī)械化證明，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)新興的一個研究領(lǐng)域。從機(jī)械化算法上看，它的方法論基礎(chǔ)是利用代數(shù)方法把推理程序機(jī)械化。因此，定理的機(jī)械化證明的思想淵源可追溯到幾何的代數(shù)化。

此外，幾何與代數(shù)的有機(jī)結(jié)合思想還給數(shù)學(xué)研究從方法論上提供了許多重要啟示，如把點(diǎn)與數(shù)對、曲線與方程相對應(yīng)的思想加以發(fā)展，提出了函數(shù)與點(diǎn)、函數(shù)集與空間相對應(yīng)的思想，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了泛函分析這一新的理論。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李玉琪.數(shù)學(xué)方法論[M].海口：南海出版公司，1990.

[2]解恩澤，徐本順.數(shù)學(xué)思想方法[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1989.

[責(zé)任編輯：田吉捷]