淺談幾何與代數方法的有機結合思想

張濤　陳為華

【摘 要】幾何與代數有機結合思想促進了人們對空間圖形認識的變化，從而把幾何學推到一個新的階段，為代數學提供了新的工具，開拓了代數學的新的研究領域，為微積分的創立準備了必要條件，加速了微積分形成的歷史進程，為數學的機械化證明提供了重要啟示。此外，幾何與代數的有機結合思想還給數學研究從方法論上提供了許多重要啟示，如把點與數對、曲線與方程相對應的思想加以發展，提出了函數與點、函數集與空間相對應的思想，在此基礎上創立了泛函分析這一新的理論。

【關鍵詞】坐標系法；幾何；代數；有機結合

1 坐標系法

坐標系法是解析幾何的基本方法，自17世紀上半葉，法國數學家笛卡爾以力學的要求為背景，用代數化方法研究幾何內容的課題開創了坐標法的傳統，即幾何的代數化方法。

坐標系法的基本思想是：引進適當的坐標系，使坐標平面上點與數對（x，y）一一對應，進而曲線與含有兩個變量的方程建立一一對應關系，這種對應關系就是映射，在這種映射下，幾何關系問題轉化為代數關系問題，然后通過代數運算求出結果，再把所得的結果翻譯回去，就可以得到幾何關系問題所需要的結論。

坐標本身是幾何代數化的產物，是點與數的統一體，它既是點的位置的數量關系表現，又是數量關系的幾何直觀，因此，它具有形與數的二重性。有了坐標概念，就可以把空間形式的研究轉化為數量關系的研究了。

例如，求兩點之間的距離，如果兩點的坐標（x1，y1）和（x2，y2）給定，其距離就表示一個代數式■，于是，幾何學上兩點之間測量問題就轉化為代數學上求一個代數式的值的問題。

再如，求兩條曲線的交點，如果兩條曲線的方程給定，那么通過聯立方程組就可求得交點的位置，因為方程組的解恰恰是兩條曲線交點的坐標。

坐標系法的另一研究與應用方向就是代數的幾何化，即將代數問題轉化為幾何問題，其基本的思想是：通過建立適當的坐標系，使數對（x，y）與坐標平面上點一一對應，進而建立含有兩個變量的方程與曲線一一對應關系，這種對應關系就是映射，在這種映射下，代數關系問題轉化為幾何關系問題，然后通過研究曲線的變化與性質，再把所得的結果翻譯回去，就可以得到代數關系問題所需要的結論。

2 幾何與代數有機結合思想的理論價值及影響

2.1 促進了人們對空間圖形認識的變化，從而把幾何學推到一個新的階段

幾何與代數的有機結合不僅為幾何學提供了新的方法，使許多難以解決的幾何問題變得簡單易解，更重要的是為幾何學發展注入了新的活力，增添了嶄新的內容。

首先，傳統邏輯學的基礎主要是推理，基本上是定性研究，如直線的平行性、曲線的相交、圖形的全等。幾何與代數的有機結合，使得圖形性質的研究變成方程的討論和求解，而方程的研究主要是數量上的分析，這就把幾何學從定性研究階段推到定量分析階段。

其次，在傳統幾何學中，空間概念是在人們的社會實踐活動中逐漸抽象出來的，這種空間概念具有明顯的直觀性與經驗性，如一維的直線、二維的平面和三維的立體。幾何與代數的有機結合，使得空間的幾何結構實現了數量化，而數量化的空間幾何結構已不再局限于一維、二維和三維，它可以是n維以至無窮維的，這就把幾何學從現實空間圖形的性質推廣到抽象空間圖形的性質。

第三，傳統幾何學主要研究固定不變的圖形，如各種各樣的直線形和曲線形，這些圖形雖然可以移動和相互變換，但圖形本身的結構卻是不變的，即傳統幾何學是一種靜態的幾何學。幾何代數化的出現，使得曲線變成了具有某種特定性質的點的軌跡，即可把曲線看作是由點通過運動而生成的，這就使人們對形的認識由靜態發展到了動態。

2.2 為代數學提供了新的工具，開拓了代數學的新的研究領域

幾何與代數的有機結合不僅直接影響和改進了傳統的幾何學，擴大了幾何學的研究對象，豐富和發展了幾何學的思想方法，而且也使代數學獲得了新的生命力。

首先，幾何學的概念和術語進入代數學，使許多代數課題具有了直觀性。與幾何學相比，代數學具有更高的抽象性，許多抽象的代數式和方程使人難以把握它們的現實意義。幾何代數化的出現，為抽象的代數式和方程提供了形象而直觀的模型。

其次，幾何學思想方法向代數學的移植和滲透，開拓了代數學新的研究領域。如以線性方程為主要對象的線性代數，就是在線性空間概念的基礎上構造起來的，這里的“線性”、“空間”等概念并不是代數學本身所固有的，而是從幾何學中借用的。

2.3 為微積分的創立準備了必要條件，加速了微積分形成的歷史進程

幾何與代數有機結合的思想形成的標志是解析幾何的創立，笛卡爾在創立解析幾何過程中，不僅提出了代數與幾何相結合的思想，而且把變數引進了數學。變數的引進，對于數學的發展有著極為重要的意義，特別是為微積分的創立準備了重要工具，加速了微積分形成的歷史進程。從這種意義上看，可把解析幾何的產生看作是微積分創立的前奏。

2.4 為數學的機械化證明提供了重要啟示

定理的機械化證明，是現代數學新興的一個研究領域。從機械化算法上看，它的方法論基礎是利用代數方法把推理程序機械化。因此，定理的機械化證明的思想淵源可追溯到幾何的代數化。

此外，幾何與代數的有機結合思想還給數學研究從方法論上提供了許多重要啟示，如把點與數對、曲線與方程相對應的思想加以發展，提出了函數與點、函數集與空間相對應的思想，在此基礎上創立了泛函分析這一新的理論。

【參考文獻】

[1]李玉琪.數學方法論[M].海口：南海出版公司，1990.

[2]解恩澤，徐本順.數學思想方法[M].濟南：山東教育出版社，1989.

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