一類含有三角函數(shù)和絕對值的函數(shù)求導(dǎo)問題

王志高

【摘 要】介紹了了一類特殊表達式中的含三角函數(shù)和絕對值的函數(shù)求導(dǎo)問題，給出了該類問題可導(dǎo)的充要條件。

【關(guān)鍵詞】求導(dǎo)；三角函數(shù)；絕對值；充要條件；導(dǎo)數(shù)定義

求導(dǎo)問題是微積分中的一個重要內(nèi)容，在導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上推演出了一系列的求導(dǎo)的公式和方法[1-2]。但是分段函數(shù)的求導(dǎo)一直是比較麻煩的問題，尤其是含有三角函數(shù)和絕對值的函數(shù)求導(dǎo)問題更是讓學(xué)生們困惑。本文就一類特殊的含三角函數(shù)和絕對值的求導(dǎo)問題展開討論。

命題1：函數(shù)f（x）可導(dǎo)，函數(shù)F（x）=f（x）（1+|sinx|），則f（0）=0是F（x）在[-1，1]內(nèi)可導(dǎo)的充要條件。

證明：

所以F（x）在[-1，1]內(nèi)可導(dǎo)等價于F（x）在0點可導(dǎo)，即F'（0）=F'（0），等價于f'（0）+f（0）=f'（0）-f（0），即f（0）=0。

命題2：函數(shù)f（x）可導(dǎo)，函數(shù)F（x）=f（x）（1+|sinx|），則f（0）=0不是F（x）可導(dǎo)的充要條件。

證明：首先由已知條件顯然有函數(shù)f（x）在整個實數(shù)集上可導(dǎo)、連續(xù)。

其次根據(jù)函數(shù)sinx的性質(zhì)可以知道

在實數(shù)集上可導(dǎo)的充要條件。

進一步，可以推廣到更為復(fù)雜的函數(shù)表達式里面含有三角函數(shù)和絕對值的求導(dǎo)問題，該類問題的核心是在分段點上回到導(dǎo)數(shù)的定義去求解，并注意把握三角函數(shù)自身的一些屬性對求導(dǎo)的影響。

【參考文獻】

[1]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第六版上冊）[M].上海：同濟大學(xué)出版社，2007.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]