離散線性卷積的理解和計算綜述

王吉華　劉秀清　李瑞先

【摘 要】總結離散線性卷積的兩種理解方法，分析了基于系統輸入輸出關系角度理解的卷積計算方法，并以算例的形式，和按公式本身進行計算的結果進行比較，驗證了其正確性。對離散線性卷積進行不同角度的理解和計算，有利于學生更深入地掌握該知識點。

【關鍵詞】信號；卷積；輸入輸出關系；濾波

0 引言

在交通運輸和車輛工程等專業開設有《汽車測試技術》、《汽車拖拉機試驗學》和《發動機測試技術》等課程，其中均含有信號調幅和濾波等相關知識[1-2]。調幅是在時域上將調制信號與載波相乘，在頻域是二者頻譜的卷積；濾波是在頻域上將原始信號頻譜與濾波器頻譜函數相乘，而在時域上將二者進行卷積。而目前這些教材專門針對卷積的討論較少，而要深刻掌握這些卷積的實際應用知識，就必須對卷積概念及其計算方法作較深的理解。卷積有連續信號卷積和離散信號卷積，二者的原理相同，區別是前者為連續信號積分，而后者是離散序列的求和。為了使學生能夠理解和掌握卷積概念、計算及其應用的相關知識，從離散線性卷積角度，總結和分析了系統輸入輸出關系和濾波兩種不同角度的理解；目前大部分教材討論卷積的計算時，均是依據卷積計算公式本身[3]，本文再從系統輸入輸出關系的角度，對文獻[3]中算例進行卷積計算，并和文獻[3]中的按卷積公式本身得出的結果進行比較，驗證此方法的正確性。

1 系統輸入輸出關系角度的理解

一個序列x（n）可以表示為單位抽樣信號δ（n）及其所有位移的線性組合，即x（n）在各個時刻k處的 “抽取值”之和，如式（1）[3]。

若一個離散線性系統對單位抽樣信號δ（n）的響應是h（n），由于離散系統為線性，滿足齊次性，則其對輸入x（k）δ（n）的響應為x（k）h（n）；由式（1）可知，輸入x（n）是所有k時刻的x（k）δ（n-k）之和，可得到該離散系統對輸入序列x（n）的響應為式（2），即輸出y（n）是輸入序列x（n）在各個k時刻的 “抽取值”x（k）與相應的單位抽樣響應h（n-k）的乘積之和[3]。式（2）即為x（n）與h（n）的離散線性卷積x（n）*h（n），這樣就從系統的輸入輸出關系角度解釋了離散線性卷積。

2 濾波角度的理解

對于時域離散信號x（t），其頻率為f；設采樣時間為Ts，得到時域離散信號x（n），頻率為fs。考察時域離散信號x（n）的濾波，濾波時間函數（濾波因子）為h（n），濾波輸出為y（n），x（n）、h（n）和y（n）的頻譜分別為XTs （f）、HTs（f）和YTs（f）。對信號x（n）的濾波就是在頻域將XTs（f）和HTs（f）相乘，得到YTs（f），然后對YTs（f）進行傅里葉逆變換就可以得到濾波后輸出y（n）。則離散線性系統的濾波過程可以描述為[4]：

由于離散線性卷積的可交換性，即y（n）=h（n）*x（n）=x（n）*h（n），所以式（3）與式（2）相等，均表示x（n）與h（n）的卷積。從以上分析可知，濾波是信號與濾波因子在時域的乘積，而在頻域是對二者頻譜進行卷積，這就從濾波角度對卷積進行了理解。

3 卷積的計算方法

對于離散線性卷積，大部分教材均按照式（2）和式（3）中的一個來進行計算，二者計算方法完全相同，以式（2）為例，其計算步驟是先將h（k）翻轉得到h（-k），再進行移位，將每次移位后的h（-k）與x（n）重合的采樣點分別相乘再求和，得到y（n）的一個采樣點的值，然后不斷移位和重復上述的相乘與求和過程，最終得到y（n）的所有采樣點的值[3]。這是從式（2）和式（3）的數學公式的角度來進行計算，為了從不同的角度來理解卷積的計算方法，下面將從系統輸入輸出關系角度理解上來分析卷積的另外一種計算方法。

從式（1）推導出式（2）的過程中利用了線性系統的齊次性，所以，在式（2）中，對于每一個確定的k時刻，x（k）為定常數，δ（n-k）是δ（n）移位k個采樣時間單位得到的序列，將x（k）與δ（n-k）的乘積x（k）δ（n-k）作為輸入，最后將各個k時刻得到的輸出x（k）h（n-k）求和，即得到y（n）。按照系統輸入輸出關系的理解，將各個采樣時刻k的定常數x（k）乘以h（n）的移位序列h（n-k），得到k時刻的輸出序列x（k）h（n-k），然后將各個k時刻得到的輸出序列在各個采樣點進行疊加求和，則實現卷積計算y（n） =x（n）*h（n）。

在文獻[3]中的例1.6.1中，按照式（2）的數學公式本身進行了直接計算，原始題目為：令h（n）={h（0），h（1）}={1，1}，x（n）={x（0），x（1），…，x（3）}={1，2，3，4}，試求x（n）與h（n）的卷積[3]。這里利用系統輸入輸出關系的理解方法進行計算，由于序列x（n）的采樣點范圍是n=0～3，所以分別令k=0，1，2，3，可得各個k時刻的輸出序列x（k）h（n-k），如圖1各圖中的粗實線實心圓頭所示。

在圖1中得到各k時刻的x（k）h（n-k）各序列中，將相同采樣點的值加起來，作為卷積輸出y（n）的在這個采樣點上的值，可得到y（n）={y（0），y（1），y（2），y（3），y（4）}={y0（0），y0（1）+y1（1），y1（2）+y2（2），y2（3）+y3（3），y3（4）}={1，3，5，7，4}，對比文獻[1]中的計算結果，二者完全相同，從而驗證了該計算方法的正確性。

4 結束語

總結和分析了離散線性卷積在輸入輸出關系和濾波兩個角度上的理解，并從系統輸入輸出關系的理解方法上計算卷積。從不同角度去理解和計算卷積，將會幫助學生對卷積及其應用知識的牢固掌握。

【參考文獻】

[1]李杰敏.汽車拖拉機試驗學[M].北京：機械工業出版社，2006.

[2]唐嵐，李涵武.汽車測試技術[M].北京：機械工業出版社，2006.

[3]胡廣書.數字信號處理-理論、算法與實現[M].北京：清華大學出版社，2003.

[4]程乾生.數字信號處理[M].北京：北京大學出版社，2003.

[責任編輯：朱麗娜]