關(guān)于函數(shù)極限一題多解的探討

曾春花

【摘 要】函數(shù)極限是微積分的基礎(chǔ)，求極限更是高等數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算之一。本文通過對函數(shù)極限例題一題多解的探討，使學(xué)生熟練掌握求極限的方法，并且培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈敏性，提高解題能力。

【關(guān)鍵詞】極限；等價無窮小；洛必達(dá)法則

The Function Limit Discussion on Multiple Solutions to a Problem

ZENG Chun-hua

（School of Mathematical Sciences， Kaili University， Kaili Guizhou 556011，China）

【Abstract】Limit of function is the basis of calculus. Solveing the limit is one of the basic operations of higher mathematics. In this paper， through the function limit example discussion on multiple solutions to a problem， so that students master the method of solveing limit. It raises the sensitivity of students mathematical thinking，and improve problem-solving ability.

【Key words】Limit；Equivalent infinitesimal；Lobidas law

極限理論是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其思想理念貫穿了高等數(shù)學(xué)的始終，掌握極限的概念和計(jì)算是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。如何求函數(shù)極限是在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，求極限的方法有很多種，如利用極限定義；利用極限的運(yùn)算法則；利用函數(shù)的連續(xù)性；利用兩個重要極限；利用等價無窮小量的替換；利用夾逼準(zhǔn)則；利用洛必達(dá)法則；利用函數(shù)的單調(diào)有界性；利用微分和積分的中值定理等等。有關(guān)求函數(shù)極限的論文很多，例如：文獻(xiàn)[1-3] 探討了求函數(shù)極限方法、技巧與應(yīng)用例析；文獻(xiàn)[4]研究了函數(shù)極限定義；文獻(xiàn)[5]陳龍衛(wèi)討論了函數(shù)極限計(jì)算的一般步驟及其在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。在求函數(shù)極限時從不同角度出發(fā)，就得到不同的解題方法，本文通過函數(shù)極限例題的一題多解，使學(xué)生熟練掌握求極限的方法，并且培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈敏性，提高分析和解題能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。接下來通過例題來進(jìn)行分析：

例1 求極限

解法一：這是“”型未定式，利用洛必達(dá)法則得==n

解法二：先利用二項(xiàng)式定理把（1+x）n展開得

==

再利用利用等價無窮小量的替換，當(dāng)x→0時，sinx～x，于是

==C+Cx+…+Cx=n

解法三：利用微分的定義所得的等式，由于（1+x）n=1+nx+o（x），

所以====n

解法四：利用等價無窮小量的替換，當(dāng)x→0時，sinx～x，（1+x）n-1～nx，于是==n

解法五：利用等式an-1=（a-1）（1+a+a2+…+an-1），于是（1+x）n-1=x[1+（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n-1]

因此==n

例2 求極限（1+）x

解法一：利用重要極限（1+）φ（x）=e和冪指函數(shù)的連續(xù)性得（1+）=（1+）x=e=1

解法二：由于（1+）x=e，而當(dāng)時x>0，ln（1+）<，于是1≤（1+）x=e≤e，且e=1，利用夾逼準(zhǔn)則，得（1+）x=1

解法三：由于（1+）x=e，由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性得（1+）x=e=e=e=e=e0=1

利用夾逼準(zhǔn)則求極限時，關(guān)鍵要將所給函數(shù)適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，且放大和縮小后的函數(shù)有相同極限，通常在求無窮多項(xiàng)和或積時，夾逼準(zhǔn)則是一種有效的辦法。利用無窮小量替換時，只有分子分母中的乘積因子才能替換，而對函數(shù)的加減運(yùn)算的項(xiàng)不能替換。

通過上面函數(shù)極限例題的一題多解，觀察到了函數(shù)首先要通過公式或恒等變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再來求極限。因此平時應(yīng)熟記常用公式、恒等變形和等價無窮小量，對解決求極限問題事半功倍。通過一題多解的例子，使學(xué)生更熟練掌握求極限的方法，并且培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性、靈敏性，增強(qiáng)了解題能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]周世新.關(guān)于函數(shù)極限求法的探討[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報，2009，1：70-72.

[2]王亮.函數(shù)極限的求法、技巧與應(yīng)用例析[J].河南科技，2013，24：186-188.

[3]賈玉峰.淺談高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極限的方法[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，3：15-17.

[4]周志昂，杜燕，蘇翃.函數(shù)極限定義研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)），2013，5：129-131.

[5]陳龍衛(wèi).函數(shù)極限計(jì)算的一般步驟及其在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，3：121-124.

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