巧妙聯(lián)結(jié)圖形發(fā)展數(shù)學(xué)思維

王琴芳

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要分析數(shù)的意義，又要揭示幾何直觀，使數(shù)量的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合尋找解題思路，使問題化難為易，化繁為簡。數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想。它是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。它既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。合理地利用圖、形，不僅符合小學(xué)生的直觀形象思維占主導(dǎo)的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，而且能起到事半功倍的效果。

一、借助主題圖，因勢利導(dǎo)，清晰算理

例題是課堂教學(xué)的重要資源，教材的主題圖更是占據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的突出地位。它在教學(xué)中起的作用不僅僅是引出算式，而要精心使用，讓它發(fā)揮充分的作用，使教學(xué)得以順利展開。

如，教學(xué)“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算”時(shí)，出示了一幅情境圖。很多老師都有這樣的失敗經(jīng)歷，學(xué)生列出算式后，只能想出“12×1=12，再在12末尾添加一個(gè)0”的方法，而且對于這種方法的算理也一知半解。盡管不少老師不斷地啟發(fā)：“還有別的方法嗎？”可始終沒有回應(yīng)，最后老師只得自己自說自話，顯得十分被動(dòng)。

反過來審視這幅主題圖，如果僅僅是引出12×10這樣一個(gè)算式，那完全只需要出示上面的文字即可，下面的圖到底有何用處呢？細(xì)細(xì)看來，書中的幾種方法介紹無疑都可以從圖上來產(chǎn)生。于是，成功的案例產(chǎn)生了。

師：同學(xué)們觀察一下主題圖（用手指向李叔叔手中的一箱和堆著的9箱），你想到了什么方法？

生1：我想到了，可以先算12×9=108，再算108+12=120。

師：你是怎么想到的？

生1：你看呀，我先算的是已經(jīng)堆在那里的9盒，再加上李叔叔手里的一盒，正好就是10盒了。

師：這位同學(xué)能借助圖來思考，把10盒看成了9盒加1盒，真不錯(cuò)！

生2：我還有辦法。先算12×5=60，再算60×2=120。也就是先算右邊的5盒，左邊和右邊一樣，就再乘2。

學(xué)生聽了，紛紛點(diǎn)頭表示同意。

生3：還有，還有，我先把每盒看成10個(gè)，那么就是10個(gè)10是100，再想每盒還多出2個(gè)，就用2×10=20，然后把100+20=120。

……

小學(xué)生的思維還是以直觀形象思維為主，尤其是第一學(xué)段的學(xué)生。上述案例如果僅僅讓學(xué)生回想學(xué)過的計(jì)算來轉(zhuǎn)化新問題，難度很大。教師應(yīng)充分利用教材直觀圖的資源——用圖形、符號來體現(xiàn)題中的信息、關(guān)系，把主要成分全面而直觀地展示出來，就能讓學(xué)生順利地由“圖”想“式”，理解算理，掌握算法，發(fā)展形象思維。

二、借助原始圖，由形及數(shù)，自主建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念是知識教學(xué)中的重要組成部分。但它的抽象性、枯燥性使得教學(xué)效果不盡如人意。借助直觀的圖形可以將概念教學(xué)具體化、形象化，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)，讓學(xué)生在輕松的氛圍中理解概念的形成過程。

案例A：以筆者聽的“倍數(shù)與因數(shù)”一課為例。

1.教師先讓學(xué)生用12個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長方形，填入下表：

2.教師示范說12是4的倍數(shù)，12也是3的倍數(shù)，3和4都是12的因數(shù)。

……

當(dāng)出現(xiàn)“你能找出36的所有因數(shù)嗎？”這個(gè)問題時(shí)，學(xué)生往往顯得無所適從。班內(nèi)能按照一定方法寫的學(xué)生寥寥無幾，任憑教師等待與點(diǎn)撥，也只有班內(nèi)幾名優(yōu)秀學(xué)生舉手發(fā)言，還未答到點(diǎn)子上。

為什么課堂在此時(shí)就變得沉悶，很不通暢？究其原因，學(xué)生對倍數(shù)和因數(shù)概念一直停留于乘法算式上，對倍數(shù)和因數(shù)的獲取缺乏必要的依托。教師把12個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長方形僅僅作為了倍數(shù)、因數(shù)的引子。其實(shí)教師可以依托于擺長方形的過程來進(jìn)行教學(xué)。

1.先引導(dǎo)觀察12的因數(shù)有1，12，2，6，3，4。問：想一想12的因數(shù)還有其他的嗎？

師：通過擺小正方形的過程就可以找到12的因數(shù)，那么36的因數(shù)可以怎么想？

2.引導(dǎo)學(xué)生也想象擺小正方形的過程。

因?yàn)樵谧穯柕倪^程中滲透了求36的因數(shù)的方法，當(dāng)我問：求36的因數(shù)只要怎么想？學(xué)生就會(huì)說：只要想（ ）×（ ）=36或36÷（ ）=（ ）。

以上環(huán)節(jié)中，通過用36個(gè)小正方形擺1、2、3、4、6排的過程，以圖形來幫助學(xué)生建立形象的數(shù)學(xué)模型，從而加深學(xué)生對求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的理解。借助形的直觀具體，使比較抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、生動(dòng)的事物，學(xué)生接受自然，方法習(xí)得水到渠成。教學(xué)實(shí)踐證明：在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，找到了概念的本質(zhì)特征，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)了求新、求異意識，發(fā)展了有序思維。

三、借助線段圖，推陳出新，拓寬思路

線段圖是采用數(shù)形結(jié)合的方式表示事物之間的數(shù)量關(guān)系，它可以使抽象問題具體化、復(fù)雜關(guān)系明朗化，為正確解題創(chuàng)造條件。將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，揭示“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，是實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生思維的有效途徑。

如，解決復(fù)雜實(shí)際問題：張老師要買一臺打印機(jī)，王老師要買一件毛衣。打印機(jī)：800元/臺。毛衣：200元/件。商場促銷活動(dòng)，如果購買500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。問：兩位老師合買比分買可以省多少錢？

方法一：多數(shù)同學(xué)的解題方法：

分開購買所花的錢數(shù)：（800-500）×80%+500+200=940（元）；

合著購買所花的錢數(shù)：（800+200-500）×80%+500=900（元）；

合買比分買所省錢數(shù)：940-900=40（元）。

方法二：一名學(xué)生的解題方法：

200×（1-80%）=40（元）

當(dāng)時(shí)很多同學(xué)不理解第二種算法，于是教師請這名學(xué)生進(jìn)一步解釋。

生：合買與分開買別的地方都沒有變，區(qū)別只是少花了一個(gè)200元的（1-80%），所以可以直接用200×（1-80%）=40（元）來進(jìn)行計(jì)算。

這名學(xué)生解釋完后，大多數(shù)學(xué)生仍然很茫然，沒有理解方法二的道理。

于是引入線段圖對比呈現(xiàn)兩種方法所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。

通過線段圖，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡單明了，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，變“看不見”為“看得見”，學(xué)生清晰直觀地看到合買與分買的區(qū)別，從圖中直觀地看出真正省的其實(shí)就是200元的20%是40元。

美國著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么，思想就整體把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。”上述案例，借助畫圖，動(dòng)態(tài)地展示了如何將問題“轉(zhuǎn)化”成圖像的過程，通過想象把抽象的文字符號形象化、具體化，理解了數(shù)量關(guān)系；線段圖的介入，使得數(shù)形結(jié)合啟發(fā)學(xué)生展開發(fā)散思維，產(chǎn)生出奇特的思路，發(fā)展創(chuàng)新思維。

四、借助平面圖，究其錯(cuò)因，辨析算理

在小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有相當(dāng)部分的內(nèi)容是計(jì)算問題，但在教學(xué)中很多老師忽視了引導(dǎo)學(xué)生理解算理，尤其在課改之后，老師們注重了算法多樣化，忽視了算理的理解。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，正所謂“知其然、知其所以然”。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，引導(dǎo)學(xué)生理解算理的策略也是不同的，數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生清晰算理的一種良好方式。

如，計(jì)算25.3×4.2，出現(xiàn)這樣的算法：

25.3×4.2

=25×4+0.3×0.2

=100+0.06=100.06

一般教師都會(huì)強(qiáng)調(diào)：A.有些同學(xué)可能誤以為是加法了，乘法與加法是不一樣。

25.3+4.2

=（25+4）+（0.3+0.2）

=29+0.5

=29.5

B.可以用豎式驗(yàn)算：

2 5 . 3

× 4 . 2

5 0 6

1 0 1 2

1 0 6 . 2 6

這樣的教學(xué)只能讓學(xué)生知道不能這樣做，而不知道為什么不能這樣做。如何合理地利用錯(cuò)誤，轉(zhuǎn)化成資源呢？不妨聯(lián)系長方形面積計(jì)算來想：

25 0.3

師：想一想：25.3×4.2算的是哪個(gè)長方形的面積，而上面同學(xué)的拆分算的又是哪幾部分的面積，錯(cuò)在哪里？應(yīng)該怎么糾正？

生1：我們要算的是整個(gè)大長方形的面積，而上面同學(xué)算的只是兩塊陰影部分長方形面積，少算了兩個(gè)白長方形的面積。

生2：如果要改，還要再加上0.3×4和0.2×25才行。

上述案例，借助長方形面積計(jì)算的平面圖，讓學(xué)生清晰地發(fā)現(xiàn)初始計(jì)算有錯(cuò)，直觀地感受到算理的錯(cuò)因，減少了教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法的時(shí)間，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。數(shù)形結(jié)合，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，揭示“數(shù)”和“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的思維。

“數(shù)”與“形”是同一事物兩種不同的表示方法，“數(shù)”是“形”的高度抽象，“形”是“數(shù)”的具體體現(xiàn)。學(xué)會(huì)有效利用數(shù)、圖、形、式結(jié)合的方式，可把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、解題思路形象地外顯，易于學(xué)生理解；可以讓數(shù)量關(guān)系與圖形的性質(zhì)很好地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使解題思路和過程具體化，更好地展現(xiàn)知識的建構(gòu)過程；可將復(fù)雜的問題簡單化，在解決問題的過程中，提升學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。