審視“動手操作”與“數學實驗”的分野

【摘要】動手操作和數學實驗兩者之間既有聯系又有區別。區別它們的形態，厘清它們的關系，把握它們在學生學習過程中的發生機制和引領價值，是實現課程理念到教與學方式轉變的必要手段。

【關鍵詞】數學實驗；動手操作；技能；認知；學習方式

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）09-0028-03

【作者簡介】武建軍，江蘇省連云港市墟溝中心小學（江蘇連云港，222042）副校長，高級教師，江蘇省數學特級教師。

蘇教版小學數學教材將動手操作作為教材編寫的一大特色，選取了適合學生觀察、操作、實驗、歸納的活動素材，讓學生在“做數學”的過程中發現數學規律，獲得數學結論。同時，還將數學實驗引入課堂教學，以內容的“可視化”促進學生數學思維的發展，使學生在“再實驗”“再創造”的過程中積累數學經驗。因此，對二者進行意義解構，有助于認識它們的基本內涵，甄別它們的區別，使之更好地服務于教材應用和課程實踐。

一、內涵解構：厘清動手操作與數學實驗的基本要義

筆者按照“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個內容領域，從“利用學具動手操作”“結合情景演示操作”“不需要操作”三個維度，對蘇教版小學數學十二冊教材進行了分類和統計。統計表明，十二冊教材中需要學生動手操作的有87項，占比近55%；需要學生借助學具動手操作的有65項，占比近41%；四個領域均有動手操作的內容。由此可見，動手操作在教材中占據著重要的位置。從數學實驗視角出發，教編人員配合數學教材編寫了《數學實驗手冊》，擬定了137個實驗課題，聚焦豐富的“動手做”數學素材，精心設計了數學實驗過程，為數學實驗的開展提供了參考。筆者認為，認識動手操作和數學實驗的本質特征，是教師正確使用教材和解決課程實踐問題的關鍵。

1.從教學內涵來看。動手操作與數學實驗都是數學活動的基本形式，需要學生在“做中學”。其中，利用一定的操作工具、實物材料和技術手段來實現素材的數學化是其共同特點，借助數學直觀使學生積累數學活動經驗、促進數學理解、培養數學思維是其共同目標。動手操作是以學生自主參與為主，學生綜合運用數學知識和方法解決問題，側重于“用”；數學實驗則是在數學思想與數學理論的指導下，學生通過對實驗素材進行數學化的操作來解決問題，側重于“學”。

2.從教學特點與功能來看。動手操作與數學實驗都是以問題為載體，以學生為主體，具有直觀性與應用性。動手操作的內容具有普遍性，數學實驗的內容具有確定的指向性；動手操作具有實踐性和開放性，而數學實驗還具有操作性、反復性和探索性。

3.從教學目標指向來看。動手操作與數學實驗都著眼于學生“動手做”學習方式的建立。動手操作目標指向不是很明確，重在實踐，注重與生活實際以及其他學科知識間的聯系；數學實驗目標指向明確，注重實驗結果和實驗結論。

4.從教學問題設置來看。動手操作與數學實驗都設有一定的問題情境。動手操作給出問題情境，設置具有可操作性的問題或給出操作方案，學生根據要求實施即可；數學實驗給出問題情境，設置遞進式或并行式問題，一般要求學生先估測或猜想，然后收集數據，并進行一定的操作來驗證。

二、形態解構：辨別動手操作與數學實驗的運行方式

從認知心理學理論出發，動手操作和數學實驗在組織結構上具有相似的特征。認知的發生具有動力學機制，學生在不同的活動模式中將形成不同的學習心理，建構不同的學習范式，呈現不同的個性差異。

動手操作模型的教學實施一般分為以下幾個步驟（如圖1）：明確問題—操作思考—建立模型—解決問題—反饋應用。其中，操作是外因向內因轉化的關鍵，是認知結網的紐帶，學生將通過操作經驗的積累和素材的數學化理解構建個體操作經驗系統。

數學實驗模型的教學實施一般分為以下幾個步驟（如圖2）：提出問題—動手實驗—驗證結果—拓展運用。實驗是整個模型的核心，涵蓋素材的選擇、結論的得出以及規律的揭示。實驗以情境的方式，將知識與身體、自我、經驗、行動等融合，促進知識轉化及其螺旋動態的生成，構建學生的經驗系統。

綜觀以上兩種模型，兩者都是基于兒童“動手做”學習經驗的建構，都體現了觀察與直覺經驗、表象與原型經驗、表征與心向經驗、遷移與再造經驗的一致性，因此可將兩者融為一體來運行。

三、功能解構：激活動手操作與數學實驗的發生機制

動手操作與數學實驗是動態數學觀視域下的具體呈現形式，立足于“做、思、學”的功能解構，它們又具有不同的發生機制。

1.學習認知視域下動手操作的發生機制。

[案例1]教學北師大版二上“4×7”（如圖3）

教學時，從乘法的意義切入，可以有兩種教學方式：一是引導學生以和與積轉化的形式表示出7個4或4個7的和，寫作4×7或7×4；二是應用7的乘法口訣得出答案。

從學習認知視域可以這樣設計教學方案：（1）提供操作材料（一塊間隔距離相等的釘子板）。（2）引導學生用兩種方法在釘子板上擺出4×7（如圖4和圖5）。（3）引導學生說出圖形表達的意義。（4）引導學生寫出相應的乘法算式和加法算式。

傳統教學觀認為，知識是信息源之間的過渡式傳遞，知識掌握是傳授者的傾注與受教者的輸入，聽和接受是學生學習的主要形式。而學習認知視域下動手操作的學習方式完全不同，它以操作、思考、探究為學生的主要學習方式。從學生數數開始，到擺出圖形，學生直觀地感受釘子數的排列，建立“數”與“形”的直覺，并從“數”與“形”中抽象出算式，完成從生活事實到數學事實的過渡。其中，既包含感知覺的獲得，也蘊含著抽象、概括等經驗的組合，學習得以發生。

2.具身認知視域下數學實驗的發生機制。

[案例2]數學實驗“分割長方體”

（1）將三個表面涂色、體積不同的長方體依次分割成10、12、48個棱長為1cm的小正方體（如圖6）。（2）猜想：1個面、2個面、3個面涂色的小正方體各有多少個？（3）用表格記錄每個長方體分割后1個面、2個面、3個面涂色的小正方體的數量。（4）驗證：用字母表示發現的規律，并在例題中驗證。

具身認知理論認為：認識依賴于來自身體各種不同感受器的多樣的經驗。以此為基礎，可以從三個維度解析數學實驗的發生機制：（1）數學實驗與身體構造的關系。在上述案例中，操作、猜想、驗證是動作與思維的融合，三次分割長方體，邏輯層次明顯，變式學習充分，學生的操作使身體、神經、感官和運動系統都參與其中。（2）數學實驗與情境的關系。在上述案例中，學生分割長方體，猜想分割后不同面涂色小正方體的個數情況，然后填表并歸類，逐步剝離操作技能，趨向發現規律的智慧技能。學習的場景、語境等成為學生認知建構的重要組成部分。（3）數學實驗與行動的關系。上例教學流程體現了知識的生成性，特別是動作技能向認知思維的過渡，體現了學科知識與個人經驗的融合，具有認知發生的動力學機制。

四、過程解構：建立動手操作與數學實驗的關聯坐標

動手操作和數學實驗具有相同的情境與不同的結構，學習進程中包含了數學應用意識和數學素養的成分。

1.以應用意識為原點，構筑動手操作與數學思維的二維空間。

[案例3]蘇教版六下“圓柱和圓錐”單元的“動手做”內容（如圖7）

數學應用意識是應用數學知識、思想方法的心理傾向，是用數學知識、方法、思想嘗試解決現實情境產生的問題的意識。上述案例中，立足于“求土豆體積”的情境，學生通過觀察、測量、記錄、計算等實際操作解決問題。學生認識到，土豆的體積與容器中水的高度有關，把土豆放入容器后，水升高的體積就是土豆體積。情境體現了動手操作在數學應用中的作用：首先，將生活實踐作為學生認知的基點，應用生活素材的感性體驗，使外在現象在學生內源性思維活動的參與下形成“物質原型”與“數學原型”的關系性鏈接。其次，深入學科內部理解知識內涵，將土豆的體積與水的體積“同積轉化”，使“做”與“思”對接。最后，突出數學活動的意義，物化操作能形象地反映數學原理，實現認知和經驗的共生。

2.以數學素養為坐標，確定數學實驗與關鍵能力的對應關系。

[案例4]蘇教版四下《三角形邊的認識》

教師提供四根小棒，分別長8cm、4cm、5cm和2cm。讓學生任意選三根小棒，試著圍一個三角形。

教師改編教材，設計成數學實驗：（1）提供一根長度為12cm的小棒。（2）請學生將小棒剪成三段（小棒長度為整數）。（3）用剪好的小棒圍三角形。（4）探究：哪些長度的小棒圍成了三角形？哪些沒有圍成？將數據列出來。（5）在實驗過程中你有什么發現？（6）總結能圍成三角形的三根小棒之間的關系。

教材內容是提供四根小棒，讓學生選出三根圍三角形，數據有限，不具有普適性。改編成數學實驗后，體現了活動與能力的組合。測量、分割、圍圖、分類、整理數據、發現規律、驗證結論等行為，使學生形成了在數學思維參與下的能力結構模式。以分小棒為認知起點，以圍三角形為邏輯主線，通過比一比和試一試，促使學生的直覺思維與數學抽象建立起聯系，使數形結合思想在操作與計算能力的形成過程中得以充分體現。整個活動是認識和方法的綜合，有助于學生數學素養的培養，其中的每一個細節又對應操作、比較、分析、抽象、推理、概括等關鍵能力，是建構學生“動手做”數學能力的價值坐標。

動手操作與數學實驗作為學生的數學學習方式，強調以“動手做”為載體，既有內容與方法上的一致，也有內涵與功能上的差異，在教學實踐中要將兩者有機融合。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學版＼2017＼02＼KT1.TIF>

注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。