“隱形圓”問題帶來的思考
——從高三一輪復習“直線與圓的綜合問題”教學案例說起

張翼飛

（江蘇省南京市第九中學，江蘇南京 210018）

引 言

解析幾何是一種借助于解析式進行圖形研究的幾何學分支，各地高考對平面解析幾何也是青睞有加。受到傳統試題的影響，學生常常認為平面解析幾何就是幾何問題代數化，更多地將“形”單向變成“數”，一味依靠函數方程運算。江蘇省2013年高考第17題和2016年第18題兩次“變數于形”，引領教師們在教學中也逐漸關注這一個方面，尋找“數”背后的“隱形”圖形。

一、課前小練

一輪復習中，筆者以“直線與圓的綜合問題”為題，帶領學生對此類問題進行了深入的研究。

（投影）課前小練：

(3)如果圓(x-a)2＋(y-a+2)2＝1上恰有兩個點在圓x2+(y-1)2＝4上，則實數a的取值范圍是______.

學生利用課前五分鐘先行完成，并反饋答案。

師：我們順便回顧一下：直線和圓有哪些位置關系呢？圓與圓呢？

生：直線和圓有相離、相切、相交；圓與圓有外離、外切、相交、內切、內含。

師：如何判斷它們的位置關系呢？

生：可以用幾何法，直線與圓比較d和r，圓與圓比較圓心距和兩個半徑的關系；也可以用解析法聯立兩個函數關系式判斷解的個數。

【點睛】三道小題難度都不大，設計上關注到直線與圓和圓與圓兩類問題，目的是讓學生易于上手，快速進入狀態。除此以外更為重要的是這三道題為后面的例題與變式的設計埋下了伏筆。

師：說得很好，那么下面這一道變式又如何解決呢？

變式：如果圓(x-a)2+(y-a+2)2＝1上恰有兩個點到（0，1）的距離為2，則實數a的取值范圍是______.

師：什么叫“恰有兩個點到（0，1）的距離為2”呢？

生：到（0，1）的距離為2的點都在圓x2+（y-1）2＝4上，所以就是說前一個圓有兩個點在后一個圓上。

師：什么是“前一個圓有兩個點在后一個圓上”？

生：就是兩圓相交。

隨即學生發現這就是剛才的第三題。

【點睛】這個問題設計得很簡單，“隱藏”圓的手法也很低級，即借助了圓的定義。這個問題的設置承上啟下，為本堂課主要的教學意圖拉開了大幕。

二、投影題

我們接觸的大部分問題都不會像課前小練一樣那么“直白”。下面我們一起看投影。

師：那么你看到了什么？

生：我看到了一個圓，阿波羅尼斯圓。

師：（故作不明白地問）什么是阿波羅尼斯圓？這里的哪個圓是阿波羅尼斯圓呢？

生：到平面上兩點A、B距離之比為定值k的點的軌跡是一個圓，稱為阿波羅尼斯圓，其中k>0且k≠1，x2＋y2＝4就是求出來的阿波羅尼斯圓。

師：很準確！那么什么叫直線上存在點符合圓呢？

生：就是直線和圓有交點！

【點睛】從數中探尋形的存在，并且借助形的性質進行解題是本節課的教學目標。筆者選擇其作為例1是因為阿波羅尼斯圓是學生相對熟悉的內容，學生易于想到它的背后“隱藏”著圓，比較自然地“從數至形”，打開思維的突破口。

師：下面請大家完成兩個變式。

變式1 已知點A(2，3)，點B(6，-3)，點P在直線3x-4y+3＝0上，若滿足等式的點P有兩個，則實數λ的取值范圍是______.

變式2 已知圓C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，點A(0，2)，若圓C上存在點M，滿足MA2+MO2=10，則實數a的取值范圍是______.

（五分鐘后）

師：談一談變式1你是如何思考的？

師：它一定是個圓嗎？

生：（片刻思考）如果不是圓，上面就不可能有兩個點滿足條件了。所以13-2λ>0，滿足條件的點有兩個，所以圓和圓相交，借助圓心距和半徑的關系就可以了。我算出來λ<2.

師：考慮得很周全，而且發現了關系式背后的“形”——是個圓。那變式2呢，你看到了什么？

生：我也看到了一個圓。設 M（x，y），由MA2+MO2=10，可得x2+y2-2y-3=0，它就是一個圓，即x2+(y-1)2=4，M存在于兩個圓上，就是說兩個圓有公共點，下面就類似課前小練的第三題了。

【點睛】兩道題的設計涵蓋了直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系，在例1的影響下，學生能夠自然地進行數與形的轉化，在實踐中提升了學生的分析轉化能力。另外兩題均借助了課前小練后兩道題的數據，把學生從繁雜的計算中解脫出來，重點突出思維能力的培養，提升了課堂效率。

師：解析幾何的解決過程就是將幾何代數化的過程，但在這過程中所衍生出的關系式背后也都有一個“形”的存在，有些“形”我們很熟悉，比如剛才三道題中都不約而同地指向“圓”，那么我們借助圖形性質就很易于解決問題，這些圓隱藏在關系中，我們就是要去發現它、運用好它[1]！下面請看例2。

（約十分鐘后）

師：前面的例題中存在一個點，我們對一個點進行題設；本題存在兩個點P和Q，我們來看看這位同學是怎么處理的？（投影一位同學的步驟）

生：我 設 P(x1，y1)，Q(x2，y2),因 為 A(2，4),T（t，0），，所以

結 語

數學的本質是研究對象與對象間的關系，有時候對象很明顯，但更多的時候研究對象是被各類關系“隱藏”起來的。這節課是讓學生感受解析幾何的本質——“形”與“數”之間的雙向轉化，從而促進學生對解析幾何更深入的理解。作為一節高三一輪復習的常態課，我們不可能在課堂上帶領學生閱遍所有類型的問題。然而只要抓住教學目標的本質，讓學生充分體驗和感受，課堂的有效性便已“潤物細無聲”了。

[1]張亞東.數學課堂教學設計案例點睛[M].上海:上海教育出版社,2017:256.