高考數學命題新特點審視

曹衛民

[摘 要] 高考試題一直在不斷變革，在尋求創新. 從高考試題中，教師要進行研究、思考、挖掘，讀懂試題背后隱藏的故事，才能有助于數學教學的開展.

[關鍵詞] 高考；試題；本質；思想；變革；命題；編制

眾所周知，高考變革牽動著數以萬計的家庭，也給教師帶來了教學變革的思考.從大量研究數據表明，近年來高考愈來愈走向對知識本質、能力、思想等角度的考查，這是一個新的發展方向.

從全國統考到分省命題，到2016年高考剩下僅僅七省市命題，可見高考命題也在不斷發生變革. 南師大單教授，浙江大學金教授等高考命題專家都準確給出了近年來新高考發展的方向：數學知識考查必須脫離題型教學，必須脫離題海訓練模式，讓強化訓練模式沒有用武之地，讓靈活教學、思維培養成為數學教學的主流.從教育部基礎教育司聯合清華、北大等名校對于各地高考數學試卷命題質量的調查研究報告指出，江蘇、浙江等分省命題質量很好，也引導著新一輪教學改革的方向. 那么從這些優秀的高考試題中我們教師讀懂了什么？給我們的教學點出了什么樣的實施方向？讓教師思考如何去改變自己的教學傳統適應新高考？這些都是試題背后值得教師思考的方向.

讀懂本質的重要性

高考中的雙基問題是數學基本知識考查的第一層次，這一類問題對于學生而言相對容易，不在計算、記憶等環節出現錯誤則沒有特別的失分現象. 但是，僅僅憑借基本知識和基本技能是無法對于學生認識能力進行區分的，這里以浙江等地的高考試題為例給出了數學基本知識考查的第二層次，即本質的深層次認知.

知識1：橢圓、雙曲線、拋物線為何稱之為圓錐曲線？

眾所周知，圓錐曲線主要是研究橢圓、雙曲線、拋物線，這三種曲線的概念在教材中也給出了介紹，動點到兩定點距離和為定值的點的軌跡稱之為橢圓（a>c），雙曲線是到兩定點距離差的絕對值為定值的點的軌跡（a

問題1：（2015年浙江文）如圖1，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是__________. （填寫線段、圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的一種或多種）

分析：這是典型的圓錐曲線概念問題，但是其不同于教材中的第一定義，往往讓學生極為費解.在教材章頭圖中有這樣三幅圖（圖2），用與圓錐母線呈不同角度的平面去截圓錐，可以得到不同的截口曲線，這是橢圓、雙曲線、拋物線，這是三者為何稱之為圓錐曲線的主要原因. 顯然，高考命題已經超越了教材基本的第一定義的考查，而延伸到了師生都不太關注的章頭圖大做文章. 上述問題也不難發現點P的軌跡是圓錐與平面α的截口曲線，考慮到一定的角度，最終是橢圓.

可以這么說，關注數學本質成為高考數學命題的重要特色，這在近些年很多經典問題中出現，給出下列問題供讀者后續研究.

問題2：（2016年江蘇）在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，·=4，·=-1，則·的值是_________.（答案：，向量極化恒等式）

問題3：（2015年浙江）對任意的x∈R，存在函數f（x）滿足__________. （答案（3），函數概念）

說明：對于數學知識本質的深層次的思考，是新高考試題命制的一個重要方向，這種試題體現了新高考的重要導向作用，完全拋棄以訓練為主導的題海模式，將訓練效用降低到最低，從數學理解、知識掌握、本質感悟的角度來區分學生，這樣的試題將會愈來愈多地體現在應試中，成為教師教學的優秀素材，也給師生的教與學提供了數學知識“靈魂”的認知.

理解知識的邊緣性

作為教師，我們常常有這樣的感受：今年的某些高考試題感覺超綱了，怎么可以這樣解決？有些問題用一些邊緣性的知識解決非?？焖伲呛孟衿綍r用到比較少，是不是不應該考這樣的問題？面對這樣的問題，我們該如何選擇教學？這里筆者借用單教授的一句話：只要是能用高中常規方法解決的問題，都不算是超綱的問題，至于是不是還有其他更為巧妙的方法，能不能用邊緣性的知識解決？這都不是問題.

問題4：（2008年江蘇）若AB=2，AC=BC，則S△ABC的最大值________.

問題5：（2013年江蘇）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4. 設圓的半徑為1，圓心在l上. （1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

分析：上述兩個問題的背景是一致的，利用了阿波羅尼斯圓，利用這一幾何背景可以較為快速地建立模型、解決問題. 何為阿波羅尼斯圓？在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足=λ，當λ>0，且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓. M，N分別為線段AB按定比λ分割的內分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑. 這一知識屬于高考邊緣性知識，掌握的話可以簡捷運算過程，這對于優秀學生而言是一種不錯的教學指導，是新高考命題呈現的特征——問題具備數學背景，多探究這樣的數學背景有助于研究新一輪命題導向.

說明：經過大量研究發現，高考試題的編制往往蘊含深奧的知識背景，這些知識并不出現在中學數學教材中，但是在教學中加以一定的滲透，將有助于教師理解問題，引導我們進行合理的教學.如江蘇卷極為喜歡的阿波羅尼斯圓，向量中的極化恒等式，不等式中的三角不等式等等，這些在中學數學教材中都是邊緣性知識，但是卻在應試中深受專家偏愛，僅僅從高考考查的角度來說，這是教師需要研究的方向，是從試題背后挖掘的重要信息.

關注思想的深刻性

數學思想是高考試題必然倚重的背景，特別對于一些具備區分學生層次的試題來說，其背后隱藏的數學思想具備著深刻性，從學生整體素養角度來說，具備數學思想并能靈活運用的學生，往往更受到頂尖大學的青睞，這也是數學思想為什么一直在高考問題命題中占據重要地位的原因.單教授在每年江蘇卷評析中都會提到數學思想在中學數學教學中的缺失，正是因為這種缺失，導致學生問題的解決不能夠轉換角度，找到恰當的、巧妙的方式.

分析：本題的標準解答是利用參變分離結合分類討論，筆者認為這并不是編題者真正的意圖！顯然，在這樣的問題背后，我們更多的看到的是如何利用數形結合思想來處理零點問題，函數零點是代數中的概念，轉換成幾何的語言即是兩個函數交點的橫坐標，因此這才是思想方法在這樣的問題解決中具備的足夠魅力！不妨記g（x）=ax+b，h（x）= -x2，結合圖4不難發現兩個極端位置，因此可以輕松解決-3≤b≤9-4.

說明：思想方法一直是高考命題體現能力立意之處，也是體現學生間思維層次的重要標桿，以不同的思想方法衡量學生，這是新高考命題的重要特點，也成為教師教學需要滲透和改變的，將思想方法通過典型問題進行滲透，才能引導學生脫離訓練模式，引導其通過認真的思考、潛心的感悟，去領略思想方法在解決數學問題中的巧妙性.

總之，新高考走在能力立意和思維考查的道路上，教師要領悟命題者在上述方面的轉變，進而提高自身對于教學的轉變和感悟，從較早的時間段入手引導學生做好數學知識本質的思考、思維的啟迪、邊緣性知識的開拓和思想方法的滲透，只有多方面的入手才能提高學生的數學能力.