淺談自相似分形結構面內受壓的特性

許廣震

摘 要：分形現象廣泛存在于自然界當中， 例如河網，樹和血管等。這一自然現象引發了人們對于自相似結構的研究并將其應用到建筑結構當中的思考。已有研究均集中于蜂巢形狀分形結構，極少有對以其它形狀為基礎的分形結構進行研究。本文以梯形、三角形及六邊形的分形結構為例，通過試驗分析，介紹了自相似結構的分形次數對于結構的面內剛度及其面內承載力的影響。結果顯示，隨著分形次數的增加，分形結構的極限承載力及剛度也會增加。

關鍵詞：分形；自相似；受壓試驗

1.引言

自然界中存在大量的分形結構，理論上分形結構可以無限度的進行分形，然而通常在大自然中所見到的分形現象均為有限次數的分形，如河網，樹和血管等。仿生學已經證明了自界中生物體的結構和特征趨向于以更有效率的方式存在。因此人們開始思考是否可以將分形結構應用到建筑結構當中。大量研究證明分形結構隨著分形次數的增加，結構的剛度、強度也會有所提高，這意味著在結構設計中可以利用分形結構在保證結構承載力的同時，減少結構的自重以達到減少材料用量及降低結構設計難度的目的。然而已有的研究均集中于蜂巢形狀的分形結構，很少有對其他形狀分形結構進行深入研究。所以本文將以梯形、三角形及六邊形為基礎的分形結構為例，進一步證明此現象。

2.過程

試驗中所需條件如下：

·軟件：Solidworks 和Up！

·試驗儀器：INSTRON儀器及3D打印機

·材料：ABS塑料纖維及20x20cm INSTRON儀器鋼墊板

為了驗證分形次數對結構承載力的影響，實體模型需要被建立以進行壓力試驗。以三角形、梯形及六邊形為基礎的模型分別在Solidworks軟件中建立，隨后將模型導入UP！軟件中并利用3D打印機進行3D打印，通過3D打印機及ABS塑料纖維打印形成實體模型如圖 1所示。從左至右分別為三種模型的Gen1～Gen3，由上至下分別為梯形，六邊形及三角形為基本元素的分形結構。

為保證各個模型承載力只與分形次數有關，在建模過程中保持同一模型不同分形次數模型整體尺寸一致，并通過改變結構璧厚來保持各分形次數模型質量一致，各模型尺寸如表 1所示。

最后利用INSTRON儀器對所得模型進行壓力試驗。試驗中，通過逐漸增大壓力直至模型壓壞，并得到相關壓力及形變數據。

3.分析結果

通過所得數據，得出三種結構應力應變曲線如圖2～圖4所示。六邊形結構Gen1～Gen3極限承載力分別為0.75MPa、0.85MPa及0.92MPa。三角形形結構Gen1～Gen3極限承載力分別為0.33MPa、0.70MPa及2.42MPa。梯形結構Gen1～Gen3極限承載力分別為0.83MPa、0.86MPa及0.93MPa。可以發現，隨著分形次數的增加，各個模型的極限承載力均有所增加，其中以三角形為基本元素的模型增長最為明顯，從Gen1到Gen3極限承載力增加了約630%，與此同時，六邊形與梯形為基礎的分形結構的極限承載力分別增加了20%和12%。

由應力應變結果可得出各個模型的面內剛度，三種模型的面內剛度變化如表2所示。

由上表可知，隨著分形次數的增加，各個模型的面內剛度均有所增加，其中以三角形為基本元素的模型增加最為明顯，由Gen1至Gen3的增量約為85%。以六邊形及梯形為基礎的結構的剛度增量分別為63%及60%。

4.結論

通過以上試驗結果表明，隨著分形次數的增加，各個模型的極限承載力均有所增加，其中又以三角形為基礎的分形結構承載力增加最為明顯。與此同時，各個模型的面內剛度也隨著分形次數的增加也會增加。由此可以證明，以梯形、六邊形及三角形所組成的自相似分形結構對結構的面內承載力及面內剛度具有提高作用，進一步證明了分形結構的優勢以及應用于建筑結構中的可行性。