關于Green公式教學中的幾點探討

王莉　王玉春

摘要：本文對Green公式教學過程中的重點、難點問題，從公式提出、概念引入、定理證明、例題的選取和講授等幾個方面進行探討，給出了相應的教學思路和教學設計。

關鍵詞：Green公式；外微分；圍線；變換

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）05-0193-02

Green公式在現代分析學中起著承上啟下的作用，且在實際中有著廣泛的應用。在教學時，對于Green公式的理解及應用是教學的重、難點，在以往的教學反饋中，普遍反映理論性較強，結論較抽象，證明復雜，定理條件不易理解等問題。在近兩年的省數學授課競賽中，許多青年教師將Green公式選作授課內容，教學中大多遵循“公式引入—定理證明—應用舉例”這一脈絡，但在重、難點的處理上都顯不足，在知識點的聯系、學生的能力培養等方面缺乏思考。如何處理教學重、難點，將抽象知識具體化，掌握公式的內涵，培養學生靈活應用知識的能力是教學設計的主要著力點和關注點。對此，根據多年的教學實踐，從以下幾個方面進行探討。

一、突出數學本質，引入自然

Green公式在現代分析學中起著承上啟下的作用，它與Newton-Leibniz公式、Stokes公式、Gauss公式是一脈相承的。Newton-Leibniz公式刻畫了一元函數在區間端點處的函數值與它的導函數在閉區間上的定積分之間的聯系；Green公式刻畫了二元函數沿區域邊界的曲線積分與它的偏導數在區域上的二重積分之間的聯系；Gauss公式刻畫了三元函數沿空間閉曲面上的曲面積分與它的偏導數在所圍空間區域上三重積分的關系；Stokes公式則刻畫了三元函數沿光滑曲面的邊界曲線的曲線積分與它的偏導數在光滑曲面上的曲面積分之間的聯系。四個公式描述一個共同的數學本質，即邊界積分和區域積分的聯系。

由四個公式的關系，可見Green公式是Newton-Leibniz公式在二維空間上的拓廣。在講授Green公式時，自然可從一元微積分學中的Newton-Leibniz公式進行啟發：若將公式中的積分域由閉區間換為二維有界閉區域，那么二元函數沿區域邊界的曲線積分與它的偏導數在區域上的二重積分有什么聯系呢？這樣的引入既顯自然，又突出了它的數學本質。

二、旁引“圍線”概念，化抽象為具體

在以往的教學反饋中，對于單連域情形掌握較好，而對于復連域情形，很多學生對內外邊界曲線的正方向的選取分辨不清。在《數學分析》[1]教材中，邊界曲線的正方向規定如下：當人沿邊界行走時，區域D總在他的左邊。若與上述方向相反，則稱負方向。此規定與復變函數中簡單曲線的正方向規定是一致的，在國內大多數《復變函數》[2]教材中，對于復連域的邊界曲線做了“硬性”規定，外部邊界的逆時針方向為正方向，內部各邊界的順時針方向為負方向。據此規定，學生清楚明白，在教學中，將“圍線”的概念引入，很好的解決上述問題。

五、強調變換思想，培養學生能力

Green公式在二重積分與區域邊界上的曲線積分之間建立一座橋梁，實現了兩類積分的相互轉化。利用Green公式計算曲線積分或二重積分，其核心在于計算積分時，若某條曲線上的積分難以計算，則將其變換為另一區域上的積分，反之亦然，這體現了數學中的變換思想[5]。在Green公式應用中，對于“挖掉奇點”等技巧，它們的本質都是為了進行變換積分公式。講透這一數學思想，可以避免死記硬背方法，培養知識的靈活應用能力。

在例2中，邊界L是由抽象的曲線，過渡為具體曲線，然后采用“挖掉奇點”的方法，皆是圍繞如何成功變換這一中心，鍛煉了學生分析解決問題的能力。掌握三個小問題后，進一步探索，若邊界曲線中的“奇點”不止一個，引導學生解決可得到結論“外圍線線上的曲線積分等于各內部圍線上的曲線積分之和”，這與《復變函數》中的柯西積分定理就呼應起來，拓展了應用，在知識能力上得到升華。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系編.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.6.

[2]鐘玉泉.復變函數論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.1.

[3]李嫻嫻，李復山.幾個積分公式的注釋及其應用[J].曲阜師范大學學報，2007，33（2）：19-23.

[4]龐惠君.利用外積、外微分統一微積分中四大公式的教學探討[J].江西農業大學學報，1995，17（1）：100-104.

[5]孫玉泉，楊小遠.變換思想在重積分三大公式講授中的應用[J].高等數學研究，2011，14（2）：37-40.