幾種改進的螢火蟲算法性能比較及應用

馬良玉+曹鵬蕊

摘要摘要：螢火蟲算法（FA）是繼粒子群算法、遺傳算法、模擬退火算法等經典智能算法之后，由劍橋學者Yang Xin-she提出的一種模仿自然界螢火蟲捕食、求偶行為的新穎的群體智能隨機優化算法。該算法近年來逐漸在不同優化領域得以成功應用，但也存在易陷入局部最優、算法過早收斂等問題，為此許多學者對螢火蟲算法進行了改進。針對基于慣性權重的螢火蟲算法、基于混沌算法的螢火蟲算法這兩種改進算法，通過幾種標準檢驗函數對各算法的性能進行詳細的仿真、比較，得出具體試驗結果。在控制系統PID參數優化中應用改進后的螢火蟲算法，仿真結果表明改進后的螢火蟲算法尋優精度和搜索速度均優于基本粒子群算法。

關鍵詞關鍵詞：螢火蟲算法；慣性權重；混沌算法；函數優化；比較研究；PID；粒子群算法

DOIDOI：10.11907/rjdk.162200

中圖分類號：TP312文獻標識碼：A文章編號文章編號：16727800（2017）001002105

引言

2008 年，Yang[1]通過對螢火蟲個體相互吸引和移動過程的研究，提出了一種新型群體智能優化算法，即螢火蟲算法（Firefly Algorithm，FA）。雖然目前螢火蟲算法還缺乏完備的數學理論基礎，但已有研究結果表明，螢火蟲算法具有較高的尋優精度和收斂速度，是一種可行有效的優化方法，為智能優化提供了新思路[2]，已經在諸多領域得以應用[37]。但螢火蟲算法作為一種新的群體智能仿生優化算法，發展時間尚短，算法本身存在著對于初始解分布的依賴性、后期收斂速度慢、易于停滯、早熟和求解精度低等缺陷。近幾年，相關學者對其進行了多角度的改進。

Lukasik等[8]于2009 年對FA 進行了改進，并對算法的參數進行研究，改進后的FA 提高了求解精度，但求解速度較慢。馮艷紅等[9]提出了基于混沌理論的動態種群螢火蟲優化算法（CDPFA），該算法運用立方映射混沌初始化螢火蟲初始位置，取得了較好的效果，進一步提高了算法的尋優精度和求解速度。王翔等[10]提出了一種新穎的改進混沌螢火蟲算法。算法利用邏輯映射混沌序列設計了一種混沌局部搜索算子，試圖提升算法的收斂速度；算法利用立方映射混沌序列設計了一種混沌替換算子，試圖避免算法的早熟收斂。徐華麗等[11]針對基本螢火蟲算法存在的早熟現象，提出了一種變尺度混沌光強吸收系數調整策略的混沌螢火蟲優化算法。王銘波等[12]針對傳統螢火蟲算法（FA）中存在的過早收斂和易陷入局部最優解等問題，提出了一種基于模擬退火機制的多種群螢火蟲算法（MFA_SA），該算法將螢火蟲種群平均分為參數不同的多個子種群。為了防止算法陷入局部最優解，利用模擬退火機制大概率接受較好的解，小概率接受較差的解。同時，在種群尋優的過程中引入可變的距離權重，通過螢火蟲算法的迭代次數動態調整螢火蟲的“視野”范圍。

PID控制器具有結構簡單、魯棒性好、需要的參數少、易于操作與控制等優點，因此被廣泛應用在化工、電力、冶金等等工業過程控制中。

本文對螢火蟲算法的幾種改進算法進行比較研究，這三種算法分別為：基本的螢火蟲算法、基于慣性權重的螢火蟲算法和基于混沌算法的螢火蟲算法。結合幾種典型的標準校驗函數求解尋優的仿真試驗，對各算法的性能進行檢驗和評判。將改進的螢火蟲算法應用于控制系統的階躍響應的PID參數優化中，將優化結果與粒子群算法進行對比。

1標準螢火蟲算法

1.1螢火蟲算法概念

FA是一種啟發式算法，這種算法啟發于螢火蟲晚上發光的行為。螢火蟲的閃光，其主要目的是作為一個信號系統，以吸引其它螢火蟲。

螢火蟲移動的3個基本原則為：①螢火蟲不分性別，它將會被其它更亮的螢火蟲吸引過去；②螢火蟲的吸引力和亮度成正比，對于任何兩只螢火蟲，其中一只會向著比它更亮的一只移動，然而亮度是隨著距離的增加而降低的；③如果沒有找到一個比給定的螢火蟲更亮，那么它會隨機移動。

1.2FA的數學描述與分析

螢火蟲算法包含兩個要素即亮度和吸引度。亮度體現了螢火蟲所處位置的優劣并決定其移動方向，吸引度決定了螢火蟲移動的距離，通過亮度和吸引度的不斷更新，從而實現目標優化。

定義1：相對熒光亮度I=I0×e-γr2ij（1）其中，I0為螢火蟲的最大熒光亮度，即自身（r=0處）熒光亮度，與目標函數值相關，目標函數值越優自身亮度越高；γ為光強吸收系數，因為熒光亮度會隨著距離的增加和傳播媒介的吸收逐漸減弱，所以設置光強吸收系數以體現此特性；rij為螢火蟲i和j之間的空間距離。

定義2： 吸引度β=β0×e-γr2ij（2）其中，β0為最大吸引度，即光源處的吸引度。

定義 3：位置更新xi=xi+β×（xi-xj）+α×（rand-12）（3）其中，xi，xj為螢火蟲i和j所處的空間位置；α為步長因子，是[0，1]上的常數；rand為[0，1]上服從均勻分布的隨機因子。

2改進螢火蟲算法

2.1基于慣性權重的螢火蟲算法

標準的螢火蟲算法在迭代后期，由于螢火蟲已經逐漸移動至局部或者全局極值點附近，此時螢火蟲之間的距離逐漸縮小，根據位置更新公式（3）可以得到：螢火蟲之間的吸引度逐漸增大，將會使螢火蟲個體的移動距離過大因而無法到達或者錯過最優位置，造成在極值點附近震蕩的問題。

基于慣性權重的螢火蟲算法（IWFA）在標準螢火蟲算法的基礎上，引入了線性遞減權重函數[13]，此時位置更新公式變為：xi=wtxi+βxj-xi+αrand-1/2（4）

wt=wmax-wmax-wmin×tMaxGeneration（5）其中，wmax，wmin分別為最大、最小權重；t，MaxGeneration分別為當前和最大迭代步數。

通過慣性權重可以控制螢火蟲以前位置信息對當前位置的影響，權重的大小決定了螢火蟲移動的距離的大小，并加強了螢火蟲算法的全局尋優和局部搜索能力。當權值取值較大時，螢火蟲當前的位置會對下一步要移動的位置有較大的影響，螢火蟲間的吸引度影響相對較小，全局尋優能力增強，局部搜索能力相對減弱。反之，螢火蟲當前的位置會對下一步要移動的位置影響較小，螢火蟲間的吸引度影響相對較大，全局尋優能力減弱，局部搜索能力相對增強。因此通過調整慣性權重w（t）的取值，可以使螢火蟲算法在搜索前期具有較強的全局搜索能力，有助于加快全局的收斂速度，隨著迭代次數的增加，權重逐漸減小，到搜索后期，局部搜索能力增強，螢火蟲個體的搜索區域也變小，螢火蟲在極值點附近的搜索能力增強，避免因移動距離過大，致使螢火蟲在極值點附近反復振蕩。

2.2基于混沌序列的變尺度螢火蟲算法

2.2.1混沌序列

混沌是非線性系統特有的一種非周期運動的現象，其行為復雜，類似隨機運動，存在精致的內在規律性，并且其具有內隨機性、初值敏感性和遍歷性等特點。混沌優化算法正是利用了混沌的這些特點，提高了隨機優化算法的效率，很好地解決復雜函數的優化問題，具有很高的尋優效率[14]。本文介紹的優化算法將混沌思想引入螢火蟲優化算法亮度參數設置中，利用混沌搜索的隨機性和遍歷性改變算法亮度參數，能夠較好地彌補基本螢火蟲優化算法隨著迭代次數增加參數不變的缺陷，實現全局最優[11]。

2.2.2變尺度混沌策略

針對標準螢火蟲算法進化到后期容易停滯，本優化算法將對光強吸收系數進行混沌變異。選取Sinusoidal映射，其具體過程如下：uk+1=au2ksinπuk（6）當a=2.3，u0=0.7時，簡化為：uk+1=sinπuk（7）當搜索空間越來越大時，普通的混沌算法效果越來越差，甚至出現失效情況。因此本優化方法采用變尺度混沌思想，對混沌變量進行尺度變換，此時式（7）變為：uk+1=τsinπuk（8）其中，τ=tMaxGenration；t，MaxGeneration分別為當前和最大迭代步數。

引入尺度變換后的光強吸收系數r可表示為：γnew=τ×uk+1（9）將新的光強吸收系數（9）代入式（1）、（2），得到新的亮度Inew和吸引度βnem。螢火蟲算法的位置更新公式變為：xi=xi+βinewxj-xi+αrand-1/2（10）引入變尺度混沌擾動后，rnem值隨著迭代次數的增加而增加，迭代前期收斂速度加快，有利于全局搜索；迭代后期收斂速度變慢，有利于在最優點附近局部搜索。

2.2.3多種群策略

本優化算法為了避免算法過早陷入局部最優，提高算法的收斂速度和尋優精度，采用多種群策略，將種群分為3個子種群。各個子種群在可行解空間內進行尋優，每次迭代后找到最優值，如果最優值連續三次沒有更新，此時可能陷入局部最優，則在3個子種群中找出比當前自身更優的種群進行替代；如果找不到，則對最優螢火蟲的位置進行隨機擾動，加入一個服從高斯分布的隨機擾動，可以使算法跳出局部最優。如式（11）所示：x′best = xbest + xbest ×μ×N（0，1）（11）其中，x′best為變異后的個體的位置；xbest為當前最優螢火蟲位置；μ是變異控制因子；N（0，1）是均值為0、方差為1 的高斯分布隨機變量。

3標準函數檢驗比較

3.1標準測試函數

為了測試各改進螢火蟲算法的性能，采用5個常用的標準測試函數進行比較，其中，f1，f2是單峰函數，f3、f4和f5是多峰函數。各函數的具體形式如下：

表1標準測試函數函數維數范圍全局極值f12[-5，5]0f22[-2，2]3.309 9f330[-100，100]0f430[-30，30]0f530[-10 10]03.2仿真實驗結果分析

為比較標準螢火蟲算法（FA）、基于慣性權重的螢火蟲算法（IWFA）和基于混沌序列的變尺度螢火蟲算法（CSFA）的性能，基于Matlab R2013a軟件編寫各算法，并針對上述標準測試函數進行詳細的仿真試驗。相關參數設置為：螢火蟲數目n=90，β0=1.0，r=1.0，α=0.2，Tmax=50，慣性權重wmax=1.1，wmin=0.2，混沌算法初始化參數a=2.3，u0=0.7。

3.2.1仿真結果分析

將每個測試函數在每種算法下運行100次，得到各函數的平均值、最優解、最差解、平均運行時間等測量結果，通過對比這些結果得到算法的尋優精度。計算結果如表2所示。通過數據對比可看出：標準螢火蟲算法和基于慣性權重的螢火蟲算法對二維函數f1和f2的尋優能力良好，當對多維函數進行尋優時，效果不是很理想，甚至無法收斂找不到最優解。基于混沌序列的變尺度螢火蟲算法，不論低維還是多維函數，其尋優能力最好，并且時間最短。因此CSFA的尋優精度是最好的。

使控制系統的性能指標最優。選取適應度函數為誤差絕對值與時間的積分，利用優化算法使適應值最小，得到最優的PID參數。適應度函數的表達式為：f（x）=∫∞0e（t）tdt（17）其中，e（t）為系統誤差。

被控對象選擇為一個典型的四階系統，如式（18）所示：G（s）=s+2s4+8s3+4s2-s+0.4（18）4.2優化過程

根據控制系統的結構圖搭建Simulink模型，如圖3所示。

控制系統Simulink模型的流程為由優化算法賦值給PID參數KP、KI、KD，運行控制系統，得到系統的性能指標，送入優化算法，看是否已經達到優化要求。優化流程如圖4所示。

4.3優化結果比較

經過以上螢火蟲算法的比較，得到CSFA算法性能最優，在此用CSFA算法和PSO算法優化控制系統階躍響應的PID控制器參數。

5結語

本文針對螢火蟲算法及近年來提出的兩種改進算法，對各算法的原理進行了分析，并運用若干典型的二維和多維標準測試函數，對算法的優化性能進行了仿真對比實驗。研究結果表明：基于混沌序列的變尺度螢火蟲算法，尋優精度最高，穩定性最好。該算法可很好地平衡全局和局部搜索能力，克服基本螢火蟲算法易陷入局部極值點和易早熟等缺點。當陷入局部極值點時，該算法采取變尺度混沌優化和高斯擾動進行精細搜索，避免了陷入局部最優和在最優點附近反復振蕩的問題。通過螢火蟲算法對控制系統階躍響應的PID控制參數優化的仿真結果，可以表明螢火蟲算法作為一個新穎的智能算法比現有的傳統優化算法優化效果好，響應時間短，并且基本沒有超調，跟蹤過程平穩。因此將螢火蟲算法應用在PID參數優化中是可行的。

后續研究將進一步分析螢火蟲算法參數對其收斂速度和尋優精度的影響，探索其它智能算法和螢火蟲算法的有效結合，進一步改善算法性能。并進一步將算法應用到復雜工業過程實時優化中，以解決實際生產中面臨的多維復雜函數實時求解問題。

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