用函數思想指導高中數學解題

楊曉君

【摘 要】函數思想以函數性質和理念作為出發點，對分析和解決數學問題具有重要作用。在數學思想中，函數思想是非常重要的一個部分，教師想要提高課堂效率和教學水平，就必須用函數思想指導解題。本文將具體探討應用函數思想指導高數數學解題的實踐，希望給相關人士提供一些參考。

【關鍵詞】函數思想；高中數學；解題

引 言

高中數學思想方法包括兩類，即知識性的數學方法和思維性的數學方法。在知識性的思維方法中，最重要的就是函數思想。所謂的函數思想，就是以函數的觀點去分析數學問題、解決數學問題，幫助學生形成數學建模的思想觀念。在高中數學的教學內容中，函數板塊是教學的核心，因此將函數思想應用于高中數學解題勢在必行。

一、用函數思想指導高中數學的方程式問題

高中數學的方程式問題，主要是將不等式中的未知數解出，雖然方程式和函數的概念有較大的差異性，但是二者之間也存在著密切聯系。當我們用一個解析式來表示函數的時候，函數可以等同于方程。因此把函數思想應用在方程式問題的解題中，可以把函數作為一個方程，且方程的函數量為零。這樣做題可以把復雜的知識簡單化，達到舉一反三的目的[1]。將方程問題轉化成為函數問題之后，方程中未知數的解，實際上就是函數圖像的交點。

比如，在解答方式式問題的過程中，具體分為兩種解答方法。第一種方法是針對簡單題目而言的，有直接求解的方程方法，但是耗費的解題時間比較多，而且解答的難度也相對較大。第二種方法是針對復雜題目而言的，是將方程問題轉換呈函數問題的方法，在解答的過程中需要應用函數思想，對函數的圖像和性質進行分析，最終求出方程的解，也就是函數圖像的交點。

二、用函數思想指導高中數學的不等式問題

函數是用來表述兩個變量關系的數學模型，因此在解決不等式問題中發揮著很大的指導作用。函數在不同的區間有著不同的正負關系，將函數的正負放在不等式中，可以有效解決不等式的問題。

以下面這道題目為例：p是一個實數，且p大于等于0，小于等于4，那么x2+px+3大于4x+p恒成立，求x的取值范圍。我們在分析這道題目的時候，習慣以x作為自變量，構成一個y的函數，求出的結果是y=x2+（p-4）x+3-p。從題目條件中已知P大于等于0，小于等于4，y大于0恒成立，求x的范圍，此時可以應用函數的有關思想，利用二次方程區間實根分布來解決數學問題，但是這個過程比較復雜。如果設函數為（x-1）p+（x2-4x+3），且這個函數大于0，當p大于等于0小于等于4時恒成立，那么對于這個一次函數來說，只需保證大于0而且小于4即可，最終求出的x范圍是（-∞，-1）U（3，+∞）。

三、用函數思想指導高中數學的數列問題

高中數學的數列問題多是以一組按照順序排列的數字作為對象，而且其中的每個數字都是數列之中的項，在解決高中數列的問題時，可以把數列問題看成項數的函數問題，那么數列的通項公式就變成了函數公式[2]。在解答高中數學問題的過程中，應用函數思想解決數列問題，可以把函數的性質作為解題依據，將復雜的解決過程簡單化，提高做題效率。

以下面的題目為例：等差數列的前n項和等于m，m項和即Sm=n，且m不等于n，那么m+n項的和，即Sm+n應該是多少。在這道題目中應用函數思想，首先要理解等差數列前n項和滿足的關系式。從函數的角度來看，這是一個必過原點的二次函數，因此在解題的過程中可以設Sn=An2+Bn，則Am2+Bm=n，An2+Bn=m。將兩個式子進行相減，最終可以得出A（m+n）+B=-1，因此A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），最終求出來的結果是Sm+n=-（m+n）。在這道題目的解答中，主要是應用了等差數列求和公式是二次函數的函數思想，把A（m+n）+B看成一個函數，這樣可以簡化計算步驟，有效解答難題。

四、用函數思想指導高中數學的優化問題

函數思想在高中數學的實際優化問題解答中也具有重要作用，可以解決實際問題，為數學問題提供簡單化和系統化的解答方法。在我們的實際生活中，存在許多量和量之間的相互關系，如路程問題，要考慮路程、時間、速度的關系，如生產問題，要考慮單價、時間、總數的關系，而其他的價格問題、采購問題等實際問題，也都涉及了函數的變量。在高考的數學試卷中，實際問題占有很大的比值，用函數思想來指導高中數學的實際優化問題，可以引導學生正確地解答題目。

比如，以路程問題為例，我們在解答路程問題時，可以把總路程設為y，把其中的時間變量或是速度變量設為x，讓實際問題的解答成為函數問題的解答。通過數量的相互關系，建立一個基本的數學模型，然后再代入其中的數值，利用相關知識求出結果[3]。大部分的數學實際問題在解答時都要利用函數的圖像進行分析，因此在做題時可以把變量關系以圖像的形式描繪出來。在求出結果后，要把結果代入到實際問題中去，有很多問題在解答之后有兩個結果，此時要根據題目的要求篩選出最合適的結果。

結 論

函數思想是數學思想中的重要思想，對鍛煉數學思維，提高數學學習水平具有重要作用，將函數思想應用于高中數學的解題中，可以提高解題效率，提升數學成績。因此高中數學教師應該在解答方程式問題、不等式問題、數列問題和實際優化問題時應用函數思想，讓學生對這種思想有更好的掌控能力。

參考文獻：

[1]韓云霞，馬旭.淺談函數思想在高中數學解題中的應用[N].寧夏師范學院學報，2016，03：92-95.

[2]浦佩華.高中數學解題中如何運用函數思想[J].數理化學習（高三版），2015，05：3-4.

[3]鄒麗麗.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].高中數理化，2014，22：6.