加權Motzkin序列的Hankel行列式

李彥君,楊勝良

(蘭州理工大學理學院,甘肅 蘭州 730050)

加權Motzkin序列的Hankel行列式

李彥君,楊勝良

(蘭州理工大學理學院,甘肅 蘭州 730050)

基于經典的Motzkin路引入了一類新的加權Motzkin路的定義,用這種路給出了一類指數型Riordan矩陣的組合解釋,得到了相應的Riordan矩陣第0列元素(加權Motzkin序列)的加法公式.作為應用,得到了一類加權Motzkin序列的Hankel行列式的計算方法.

指數型Riordan矩陣;加權Motzkin路;加法公式;Hankel行列式

1 引言

2 指數型Riordan矩陣的組合解釋及加法公式

定理2.1一個Z序列為{z0,z1},A序列為{a,a1,a2}的指數型Riordan矩陣R=(rn,k)滿足加法公式:

其中

3 加權Motzkin序列的Hankel行列式及其應用

設(rn)n≥0是一個實數序列,由序列(rn)n≥0所確定的n階Hankel矩陣[6-7]

將Z序列為{z0,z1},A序列為{a,a1,a2}的指數型Riordan矩陣[g(t),f(t)]的第0列元素(rn,0=n![tn]g(t))稱為加權的Motzkin序列,記作序列(rn)n≥0.

定理 3.1加權Motzkin序列(rn)n≥0的Hankel矩陣的行列式為:

這里λk=z0+ka1,μk=(k+1)(z1+ka2).

注3.1若a=1,則有

這是文獻[5]的結果,在文獻[5]中是用歸納法進行證明的,這里我們將其結果推廣并且給出了格路證明.

注3.2當x=1時就是Bell序列A000110(文獻[10])的Hankel行列式,對于x=1的情況在文獻[11]中用類似的方法做的,這里我們將其做到多項式序列上去,使得應用更加廣泛.

注3.3該例題的指數型Riordan矩陣對角線上的元素不全為1,是定理2.1和定理3.1的一個典型應用.在文獻[5-11]中,有相似的結果.我們得到的得結果相對于文獻[5-11]有以下優勢：

1.本文的結論是建立在定理2.1和定理3.1基礎上的,定理2.1有嚴格的組合證明,有一定的組合意義,而文獻[5-11]是在歸納法的基礎上得到的.顯然我們的結論更有實際意義.

2.本文得到的結論比文獻[5-11]要廣,文獻[5-11]中僅僅考慮了指數型矩陣對角線上的元素全為1的情況,顯然更加廣泛.

3.對于同樣一個Hankel矩陣,能得到不同的分解,最后得到相同的結論,比如該例題中由階乘數序列構成的Hankel矩陣還可以有下面不同的分解.

注 3.4該例題中對a取不同的值就會得到由階乘數序列構成的Hankel矩陣的不同的分解,最后得到一致的結論.前三個例題得到的是多項式序列的Hankel行列式,本文對其中的x取特殊的值，就能得到許多的Hankel行列式的值,這在其他文獻中是沒有的.最后兩個例題是指數型Riordan矩陣對角線上元素不全為1的具體的例子,能夠具體的反映定理2.1和定理3.1的結果.

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The Hankel determinants of some weighted Motzkin sequences

Li Yanjun,Yang Shengliang
(School of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China)

Based on the classical Motzkin paths,a new family of weighted Motzkin paths is introduced.By means of those paths,the combinatorial interpretation of some Exponential Riordan arrays are given.Meanwhile, the addition formula of the 0 column elements of Riordan arrays,i.e.,weighted Motzkin sequences,is obtained.As an application,the evaluation of Hankel determinants of some weighted Motzkin sequences are also obtained.

exponential Riordan array,weighted Motzkin path,addition formula,Hankel determinant

O157.1

A

1008-5513(2017)01-0026-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.004

2016-10-16.

國家自然科學基金(11561044).

李彥君(1990-),碩士生,研究方向：代數組合與組合優化.

2010 MSC:05A15,15A09.