一類三元反向混合單調算子不動點定理及其應用

謝盧夢,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

一類三元反向混合單調算子不動點定理及其應用

謝盧夢,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

利用單調迭代方法、數學歸納法、錐理論方法研究了具有半序的Banach空間反向混合單調算子的不動點的存在性與唯一性,得到的結論推廣了反向混合單調算子不動點的存在性與唯一性.最后,將所得到的結論應用于Hammerstein積分方程中.

反向混合單調算子;正規錐;不動點;迭代序列

1 引言

在具有半序的 Banach空間中,混合單調算 子[1]和反向混合單調算 子[2]理論在方程求解方面有相當廣泛的應用.文 獻[3]研究了在序差關系下的反向混合不動點存在性與唯一性,文獻[4]引進了混合g-單調的概念并研究了混合g-單調算子的耦合不動點的存在性與唯一性,文獻[5]將混合g-單調算子下的不動點存在性與唯一性做了推廣,文獻[6]在非緊性與非連續性以及u0-凹凸性的條件下給出了一種新的混合單調算子的不動點定理,文獻[7]對其結論做了推廣.受到上面學者所研究的文獻的啟發,本文在假設算子不具有緊性與連續性這一條件下,得到在具有半序Banach空間中的一類新的三元反向混合單調算子的不動點的存在性與唯一性.

2 預備知識

設 E是實 Banach空間,P?E是一個錐.若對任意的 x,y∈P,x≤y 當且僅當有 y?x∈P時,稱半序關系≤ 是由 P導出的.如果存在常數 N ＞0,使得對任意的x,y∈P,θ≤x≤y,都有||x||≤N||y||成立,稱錐P為正規錐,其中N 為正規常數.

設E是半序線性空間,令

定義 2.1[9]設E是具有半序關系的Banach空間,定義乘積空間E×E×E中的半序關系:如果

則記(x1,y1,z1)≤(x2,y2,z2).

定義 2.2設A:E×E×E→E,若x1≤x2,y1≥y2,z1≤z2,蘊含著

則稱A為反向混合單調算子.即對任意的x,y,z∈E有下列結論:

定義2.3[9]設x∈E,A:E×E×E→E,若x=(x,x,x),則稱x為A的三重不動點.

3 主要結論

定義 3.1設A:P×P×P→P,u0∈P{θ},η:(R×P×P×P)→R.如果

(i)對任給的x,y,z∈P{θ},A(x,y,z)∈Pu0;

(ii)對任給的x,y,z∈Pu0,t∈(0,1),存在η(t,x,y,z)≥0,使得

則稱A:P×P×P→P的一個u0-凹凸算子.其中η(t,x,y,z),對固定的y,z關于x是減的,對固定的x,y關于z是減的,對固定的x,z關于y是增的.

定理3.1設P是E中的正規錐,令A:P×P×P→P是一個反向混合單調u0-凹凸算子.假設x0,y0,z0∈P且x0≤y0,z0≤y0.滿足下列條件:

證明條件(i),(iii)滿足定理3.1中的條件(i),(ii).則由定理3.1可知該命題成立.

定理 3.2設P是Banach空間E中的正規錐,令算子A是一個反向混合單調u0-凹凸算子.假設 x0,y0,z0∈P 且 x0≤ y0,z0≤ y0,?t∈(0,1),其中 η(t,x,y,z)如定義 3.1所述,則算子 A在 P上有唯一的不動點的充分必要條件是定理3.1中的條件(i)成立.以x0,y0,z0為初始值作迭代序列:

4 應用

下面給出定理3.1在Hammerstein積分方程中的應用.

設

考慮積分方程

其中α,β,γ∈(0,1)為常數.

定理 4.1設K:[0,1]×[0,1]→(0,+∞),?t∈(0,1),假設存在

參考文獻

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Fixed point theorems of a type tripled reverse mixed monotone operator

Xie Lumeng,Xue Xifeng
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

In order to explore the existence and uniqueness of triple fi xed point of reverse mixed monotone operator which in partially ordered Banach space,the mixed monotone iterative method and mathematical induction and cone theory are used.The results generalize the existence and uniqueness of fi xed point of reverse mixed monotone operator.

reverse mixed monotone operator,normal cone, fi xed point,iteration sequence

O178

A

1008-5513(2017)01-0060-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.01.007

2016-05-23.

陜西省自然科學基金(2012JM1017).

謝盧夢(1991-),研士生,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10