毛細管模型中流體啟動流動力學分析及應用

玄建

（勝利油田勘探開發研究院，山東東營257000）

毛細管模型中流體啟動流動力學分析及應用

玄建

（勝利油田勘探開發研究院，山東東營257000）

毛細管模型中，根據Poiseuille導管流動公式和牛頓第二定律建立單相流體的啟動流動方程，求解得到位移、速度等參數隨時間的變化，進而得出了毛細管中單相流體的啟動流動過程中慣性力和滲流阻力之間的變化規律。根據毛細管模型中流動，闡述了啟動壓力梯度問題。

毛細管；啟動壓力梯度；流體

對砂巖儲集巖，常常把微小的孔隙看成毛細管，由于毛細管模型簡單，便于分析，因此研究毛細管模型有利于對滲流問題的深入認識。自Hagen-Poiseuille發表了導管流動公式以來，毛細管模型在環境科學、水利工程、石油工業、醫學等方面得到了廣泛的應用。很多學者做了大量的毛細管模型研究，大部分基于穩定流態，對啟動流動的研究較少。在很多實驗中，得到了啟動壓力梯度，這正是測量初始階段啟動流動的反應。很多學者對啟動壓力梯度持懷疑態度，也給出了合理的解釋。本文通過毛細管模型中啟動流動的力學研究，進一步闡釋了啟動壓力梯度問題。

1 毛細管模型與達西公式

Hagen-Poiseuille[1]（1842年）發表了導管流動公式，模型假設流體為不可壓縮牛頓流體并在管中作層流的條件下，得到了經典的Poiseuille方程式：

Henry Darcy[2]（1856年）研究水在砂濾器中流動時得出了經驗達西公式，用以描述流體流經特定形狀的多孔介質系統的性質。

在毛細管中的流體流動既遵循Poiseuille公式，也遵循達西公式，Kozeny公式給出了兩個公式之間的關系式。

2 毛細管中啟動流動方程的建立

假設在較長毛細管中有長為L的流體，在其兩端施加Δp壓力差，由靜止開始運動。在運動過程中，Δp既要克服滲流阻力使流體運動，又要使流體做加速運動。克服滲流阻力使流體運動符合Poiseuille公式，使流體做加速運動符合牛頓第二運動定律。

根據位移、速度、加速度的關系可以得到：

初始條件為：當t=0時，s=0，s'=0，求解得：

進而求得速度v和加速度a：

根據牛頓第二運動定律作用在流體上并使其加速運動的壓力為：

根據以上計算可以看出當毛細管半徑在微米級時，流體在極短時間內加速度消失，損耗在加速上的壓力Δp'也隨之消失，流體達到了穩定流動狀態。

3 啟動壓力梯度探討

有的學者通過實驗方法提出啟動壓力梯度是存在的（見圖1）[3-10]，有的學者認為不存在，認為啟動壓力梯度只是一個實驗假象[11]。從毛細管理論模型中流體啟動流動研究來看，只要壓力大于毛管力，毛細管中的流體就會流動，因此啟動壓力梯度是不存在的。而在實驗過程中經常得到一個啟動壓力梯度，即在壓力梯度較小時，滲流規律并不符合Poiseuille公式和達西公式，也與毛細管模型中啟動流動公式不一致。

圖1 實驗室得到的滲流指示曲線示意圖

實驗中用的巖心可以看成有很多個不等徑毛細管組成的毛細管模型，由于在油藏條件下，油相基本上是非潤濕相[12，13]。假設該模型中流體為非潤濕相，那么毛管力就是流動阻力。由于毛管力的作用，在較低的壓力梯度驅替時，大部分毛細管中的流體不流動，只有較大的毛細管中的流體流動。而這部分較大毛細管的橫截面積僅占整個巖心橫截面積的一部分，隨著驅替壓力的逐漸增加，參與流動的毛細管越來越多，直至驅替壓力能夠驅動絕大部分毛細管中的流體。

假設有一巖心由r1、r2（r1＞r2）兩種毛細管組成，毛細管中的流體為非潤濕相，當壓力達到pc1＜pr1＜pc2時，r1毛細管中流體流動，流動符合：

當壓力達到pr2＞pc2時，r1、r2毛細管中流體流動，流動符合：

合并得：

因為r1＞r2，所以，也就是說，pc1＜p1＜pc2時的斜率大于pr2＞pc2時的斜率，而在實驗測量時，得到的斜率是逐漸增大的，這是因為實驗時采用的速度不是真實速度，而是視速度，即流量除以巖心的橫截面積得到，那么斜率就變成了，這樣，與實驗結果一致。

同理可得，當存在三種半徑r1、r2、r3（r1＞r2＞r3）或者更多種毛細管時，視速度V與關系圖中，斜率逐漸增大，與實驗得出數據一致。

4 結論

（1）從流體在毛細管模型中由靜止開始運動過程的理論推導來看，毛細管中的流體在極短的時間內就能達到穩定流態，慣性力在極短的時間內消失，壓力只用于克服滲流阻力。

（2）根據理想毛細管模型來看，實驗測量的滲流指示曲線中出現的低速滲流曲線段和高速滲流直線段是合理，這是由于巖心中存在不同半徑的孔隙具有不同的毛管力導致的。即在較低的壓力梯度時，僅克服較大孔道的毛管力使其中的流體流動，隨著壓力梯度的不斷增加，越來越多的更小半徑的孔隙中流體參與流動。當絕大部分孔道中的流體流動時，滲流指示曲線呈現直線段。

符號注釋：

Q、Q1、、Q2-流量，cm3/s；r、r1、r2、r3-毛細管半徑，μm；Δp-毛細管內流體兩端壓力差，MPa；μ-流體黏度，mPa·s；L-毛細管內流體長度，m；K-巖心滲透率，μm2；A-巖心橫截面積，cm2；v、v1、v2-毛細管內流體的速度，m/s；V-流體視速度，m/s；p1、p2、pr1、pr2-壓力，MPa；ρ-毛細管內流體的密度，kg/m3；a-毛細管內流體的加速度，m/s2；s-毛細管內流體的位移，m；t-時間，s；b、c、d-常數；Δp'-損耗在流體加速上的壓力，MPa；pc1、pc2-毛管力，MPa；m1、m2-半徑為r1、r2的毛細管個數。

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The mechanical analysis and application of the flow launch in the capillary tube

XUAN Jian
（Exploration and Development Research Institute of Shengli Oilfield，Dongying Shandong 257000，China）

In the capillary tube,the equation of the single-phase instability flow is established on the basis of the Poiseuille equation and the Newton second law.The change of displacement and velocity with time is obtained.And the relationship of inertia force and seepage flow resistance is calculated.The capillary tube with flow is applied in the analysis of the threshold pressure gradient.

capillary；threshold pressure gradient；flow

TE312

A

1673-5285（2017）02-0077-03

10.3969/j.issn.1673-5285.2017.02.018

2016－12-08

玄建，男（1982-），勝利油田勘探開發研究院工程師，碩士，研究方向為油氣田開發，郵箱：xuanjian0202@163.com。