分數(shù)階微分方程數(shù)值求解的常用方法

高旺（東北石油大學,黑龍江大慶163318）

分數(shù)階微分方程數(shù)值求解的常用方法

高旺（東北石油大學,黑龍江大慶163318）

分數(shù)階微積分是由整數(shù)階微積分推廣而來，主體理論是關于任意階微分和積分的。整數(shù)階微積分和分數(shù)階微積分是統(tǒng)一的。盡管眾多學者創(chuàng)造了許多用來描述分數(shù)階微分方程、分數(shù)階積分方程和分數(shù)階偏微分方程的數(shù)學模型，但關于分數(shù)階微分方程的精確、高效的算法仍然缺乏。因此，下一步的重點就是尋找求解分數(shù)階微分方程，特別是非線性微分方程的方法。

分數(shù)階微積分；整數(shù)階微積分；數(shù)學模型

幾個世紀以來，對分數(shù)階微積分的理論研究非常有限，主要集中在數(shù)學的純領域。貌似只有數(shù)學家和科學家研究這個領域才有價值。然而，經(jīng)過一系列的改進，分數(shù)階微分方程開始逐漸用來解決光學和熱學系統(tǒng)、電路及材料和力學系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別、控制和機器人等領域的問題，實用性越來越強。國內(nèi)外學者十分關注分數(shù)階微積分理論，尤其是理論中從實際問題抽象出來的分數(shù)階微分方程。人們最關心的就是如何適用一種實用的數(shù)學工具和基本原理來完成對這些復雜系統(tǒng)建模的工作。分數(shù)階微積分方程用來描述復雜系統(tǒng)時具有建模簡單、參數(shù)物理意義清楚、描述準確等優(yōu)點，因此，用其來刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程在合適不過了。復雜力學與物理過程數(shù)學建模都首先考慮使用分數(shù)階微積分方程[1,2]。

1 分數(shù)階微分方程研究現(xiàn)狀

針對理論研究，假設滿足李氏條件是首要前提，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程沒有區(qū)分。簡而言之，這些工作可以看做經(jīng)典微積分方程在理論方面的延展。缺乏針對分數(shù)階微分方程進行系統(tǒng)性分析的結(jié)果，只能局限于對一些非常特殊方程的求解，且用來求解的方法也不完美。

現(xiàn)有分數(shù)階方程的數(shù)值算法在數(shù)值求解方面還不完美，主要缺點有：

（1）在數(shù)值計算中尚未徹底解決一些挑戰(zhàn)性難題；

（2）完美可靠的數(shù)值算法幾乎沒有，現(xiàn)在經(jīng)常使用的算法還是有限差分方法和有限單元法；

（3）沒有開發(fā)出可靠的數(shù)值模擬軟件，距離實際使用還有較大距離。

分數(shù)階微分方程缺點眾多，基于現(xiàn)狀來發(fā)展新的數(shù)值算法成為了當務之急。新的算法要保證良好的計算可靠性和精度，在這個大前提下來提高計算效率，解決分數(shù)階微分方程計算量過大和存儲量過大的缺點。因此，相應的計算力學應用軟件也應當開發(fā)出來，成為了各大學者迫在眉睫的任務。

整數(shù)階微積分只和函數(shù)的局部特征有關系，而分數(shù)階微積分基于加權的形式，額外考慮了函數(shù)的整體信息。在諸多方面應用加權理論來建立分數(shù)階微積分數(shù)學模型，這樣做一來能更準確的描述實際系統(tǒng)的動態(tài)響應，二來可以在設計、表征和控制等方面改進和完善動態(tài)系統(tǒng)的的性能[3]。

2 結(jié)語

針對算法里面的解析解，以線性分數(shù)階微分方程為代表的簡單的方程可以借助一些特殊函數(shù)以及變換方法來求得其該方程的解的解析表達式。特殊方法有Mittag-Leffler函數(shù)、La?place變換等。以非線性分數(shù)階微分方程為代表的復雜方程，在進行求解的過程，一些半解析方法，諸如Adomian分解方法，變分迭代法以及同倫分析方法等，都可以從從理論方面入手，進而擴展到分數(shù)階微分方程求解中。這些方法雖然具有計算時間短等優(yōu)勢，但由于迭代次數(shù)較少引起了短時間內(nèi)快速發(fā)散，針對長時間系統(tǒng)解的研究則顯得力不從心。

[1]陳文,孫洪廣.分數(shù)階微分方程對的數(shù)值算法:現(xiàn)狀和問題[J].計算機輔助工程,2010,19(2)：1-2.

[2]林然,劉發(fā)旺.分數(shù)階常微分方程初值問題的高階近似[J].廈門大學學報(自然科學版),2004,(1):21-25.

[3]薛定宇,陳陽泉.控制數(shù)學問題的MATLAB解[M].北京:清華大學出版社2009:19-56.

Fractional calculus is generalized by integer calcu?lus,and the principal theory is about any order differential and in?tegral.Integer calculus and fractional calculus are uniform.Al?though many scholars have created a number of mathematical models to describe fractional differential equations,fractional inte?gral equations,and fractional partial differential equations,the ex?act and efficient algorithm for fractional differential equations is still lacking.Therefore,the next step is to find a solution to the fractional differential equation,especially the nonlinear differential equation.

fractional calculus;integer order calculus;mathe?matical model

高旺（1992-），男，吉林省德惠市人，在讀研究生，研究方向：控制工程。