窺“一斑”，知“全豹”

盛敏建

摘 要：近年，我市中考數(shù)學試題已經(jīng)呈現(xiàn)出基礎化的趨勢，這有可能成為今后我市連續(xù)數(shù)年數(shù)學中考的“新常態(tài)”。但在初三中考復習的過程中，許多老師和學生還是不走尋常路，經(jīng)常找一些偏題、怪題、難題，使自己陷入茫茫的“苦海”中，這其實是得不償失的。其實中考試題的命制完全立足于數(shù)學課本，其中不乏相當數(shù)量的試題直接或間接地來源于課本，許多中考題都能在課本中找到它的“母體”或“原型”。因此，這就要求我們教師在復習教學過程中，要重視課本例題、習題的作用，深入研究和挖掘隱含在課本中的數(shù)學思想、方法及潛在價值，讓學生們走出題海戰(zhàn)術，真正做到“輕負高質(zhì)”。本文通過對一道課本習題的拓展探究來“借題發(fā)揮”，進行一題多變，多題一解，引導學生去探索數(shù)學問題的規(guī)律性和方法，以達到“窺一斑，知全豹”的教學效果。

關鍵詞：課本習題；拓展探究

一、引言

數(shù)學習題浩瀚如海，變化無窮，如何從眾多的數(shù)學習題中選擇恰到好處的習題，這需要我們教師在平時的教學中要做個有心人，選題時要在“精”字上下功夫。精選習題目的要明確，針對性要強，習題的難易程度要適中。其中課本習題就是很好的實例，它們均是經(jīng)過專家多次篩選后的題目的精品，教師在選編習題時，要優(yōu)先考慮課本中的例題與習題，適當進行拓展、演變，使其源于教材，又不拘泥于教材，不應“丟了西瓜去撿芝麻”，忽視課本習題而去搞大量的課外習題。在教學實踐中，我們要精心設計和挖掘課本習題，編制一題多解、一題多變、一題多用、多題一法的習題，提高學生靈活運用知識的能力。下面本文就課本上一道具有較強代表性和典型性的習題進行拓展探究。

二、選題背景及意義

母題：已知如圖1，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC。求證：△ABP≌△PDC。

題意闡述：本題的已知條件歸納起來有兩個：

（1）一組邊相等（AP=PC）；（2）三個角相等（∠ABP=∠APC=∠PDC=90°）。

其證明過程為：∵AB⊥BD，CD⊥BD

∴∠ABP=∠PDC=90°

∠APB+∠BAP=90°

∵AP⊥PC

∴∠APB+∠DPC=90°

∴∠BAP=∠DPC

又∵AP=PC

∴△ABP≌△PDC（AAS）

這是選自浙教版八年級《數(shù)學》（上冊）《2.8直角三角形全等的判定》課本作業(yè)題的第2題（第82頁）。本題的證明過程并不困難，那為什么要選這一道題呢？這是一道大部分學生熟悉而又相對簡單的習題，從此類典型問題出發(fā)，我們通過思路剖析，使學生牢固掌握了基本題型及解題規(guī)律，揭示了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，前后貫通，引申拓寬，使學生的思維活動始終處于一種由淺入深，由表及里，由一題到一路的“動態(tài)”進程之中，形成了一條較為完整的知識鏈，不僅有利于消除學生學習的畏難情緒，讓學生積極、主動地投入數(shù)學學習中，而且有利于幫助學生全面、系統(tǒng)地復習已掌握的數(shù)學知識、數(shù)學思想和方法，有利于提高學生綜合應用知識解決實際問題的能力。

三、問題演變

1.結(jié)論的延伸與拓展

原題中是要證明△ABP≌△PDC，現(xiàn)可對其結(jié)論進行延伸與拓展，改為“觀察圖形猜想AB、BD、CD之間的關系，并證明你的猜想”。

其實前部分的證明過程一模一樣，只不過后部分用了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，得到AB=PD，BP=CD。又因為BD=BP+PD，通過等量代換從而得到AB、BD、CD三邊關系滿足BD=AB+CD的關系。我們在中考題中可以找到這樣的實例：

例1：（2013成都）如圖2，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC。（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q。

①若點P與A，B兩點不重合，求的值；

②當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答）。

分析：在本題的第一小題中，證明過程可完全套用母題證得△ABD≌△CEB，從而得到AB=CE，又因為AC=AB+BC，AD=BC，通過等量代換得到AC=AD+CE。本小題主要是讓學生經(jīng)歷由觀察、猜想到驗證的解決問題方法，培養(yǎng)學生的探究能力與解決問題的能力。第二小題是一個動點問題，它主要想讓題設條件與圖形“動”起來，克服學生的思維定式和圖形位置定式，使學生習慣于“開放”與“探究”的思維。

再來看這樣一個實例：

例2：如圖3，在筆直的公路L的同側(cè)有A、B兩個村莊，已知A、B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km。現(xiàn)要在公路上建一個汽車站P，使該車站到A、B兩村的距離相等。

（1）試用直尺和圓規(guī)在圖中做出點P；

（2）若連接AP、BP，測得∠APB=90°，求A村到車站的距離。

分析：本題添加了一個實際應用背景，第一小題考查了中垂線的性質(zhì)，作線段AB的中垂線，它與直線l的交點即為所要求作的點P；第二小題連接AP、BP后，即出現(xiàn)我們前面所提到的原型圖，易得△APC≌△PBD，則CP=BD，再由勾股定理算得AP為5km。本題滲透了數(shù)形結(jié)合思想，讓學生認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學信息，數(shù)學在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應用；使學生在面對實際問題時，能主動嘗試著從數(shù)學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。

2.條件和結(jié)論的互逆變換

母題中是已知一組邊相等和三個角相等，求證三角形全等，現(xiàn)可將題中的條件和結(jié)論進行互逆變換。下面就有這樣一個中考實例：

例3：（山東德州）兩個全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如圖4所示放置，E，A，C三點在一條直線上，聯(lián)結(jié)BD，取得BD中點M，聯(lián)結(jié)EM，MC，試判斷的△CME形狀，并說明理由。

分析：此題兩個全等直角三角形的對應邊和對應角相等得到△ABD為等腰直角三角形，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MD=MA，再由“邊角邊”證得△MDE≌△MAC，由對應邊和對應角相等證得△CEM為等腰直角三角形。本題主要是培養(yǎng)學生思維的靈活性。

3.條件的弱化

當一個命題成立的條件較為豐富時，可考慮減少其中一兩個條件，或?qū)⑵渲幸粌蓚€條件一般化，并確定相應的命題結(jié)論，從而加工概括成新的命題以求拓展應用。

（1）弱化條件“線段相等”，則結(jié)論由三角形的全等弱化為三角形相似。

例4：（山東）如圖4，已知平面直角坐標系xOy中，點A（m，6），B（n，1）為兩動點，其中0

①求證：mn=-6；

②當S△AOB=10時，拋物線經(jīng)過A，B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數(shù)的關系式；

③在②的條件下，設直線AB交y軸于點F，過點F作直線l交拋物線于P，Q兩點，問是否存在直線l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直線l對應的函數(shù)關系式；若不存在，請說明理由。

分析：本題在原型基礎上添加了直角坐標系，與函數(shù)結(jié)合，是一道代數(shù)與幾何的綜合題，又是一道解決動態(tài)的問題，考查了相似三角形、圖形與坐標、函數(shù)等知識；它主要培養(yǎng)學生綜合分析問題能力、處理實際問題能力和應變能力。

（2）弱化條件“直角”，則“全等三角形”結(jié)論仍然成立。

例5：如圖5△ABC為等邊三角形，點D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也為等邊三角形。

①在圖中找到除等邊三角形邊長相等的線段，證明你的結(jié)論。

②你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變換相互得到？寫出變換過程。

分析：本題中雖沒有直角條件，但仍有“一線三角”相等，可以通過“AAS”或“ASA”證明△AFE≌△BDF≌△CED，從而得到AE=BF=CD，AF=BD=CE。此題主要考查了三角形全等的判定和圖形的變換等知識，培養(yǎng)學生思維的敏捷性。

（3）同時弱化條件“線段相等”和“直角”，則結(jié)論由三角形的全等弱化為三角形相似。

例6：如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點E，F(xiàn)分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），且∠BEF=120°，設AE=x，DF=y

①求y與x的函數(shù)解析式；

②當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

分析：本題雖沒有條件“線段相等”和“直角”，但通過兩個角相等可得到△ABE和△DEF相似，再利用相似三角形的對應邊成比例求得y與x的函數(shù)解析式。此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)，充分運用了數(shù)形結(jié)合和建立函數(shù)模型來求最值問題。

無論如何變換，本質(zhì)上“三個角相等”的條件始終存在，最終要應用三角形相似或全等來解決問題。

4.圖形的變化拓展

有時可對基本圖形進行平移等變換，使其變?yōu)橄旅鎯煞N基本圖形：

但基本解題思路仍然不變。

例7：（江西）某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：

①如圖7，在等邊△ABC中，M，N分別是AC，AB上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=60°，則BM=CN；

②如圖8，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點，BM與CN相交與點O，∠BON=90°，則BM=CN；

③如圖9，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，則BM=CN。

任務要求

（1）請你從①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；

（2）請你繼續(xù)完成下面的探索：

試在圖9中畫出一條與CN相等的線段DH，使點H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的角是108°，這樣的線段有幾條？如圖10，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，EA上的點，BM與CN相交于點O，若∠BON=108°，請問結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，試說明理由。

分析：本題中雖圖形有所改變，但前三題證明過程與母題同出一轍，仍可以用“AAS”來證得。讓學生從圖形運動中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題，探究解決新問題的策略。

5.基本圖形的構(gòu)造與應用

幾何綜合性問題通常是由若干個基本問題組合而成，其圖形也是由若干個基本圖形組合而成，因而，學生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時，還應具備必需的輔助線構(gòu)造基本圖形的技能。

例8：如圖11，∠MON=90°，∠MON的內(nèi)部有一個正方形AOCD，點A，C分別在射線OM，ON上，點B在ON上的任意一點，在∠MON的內(nèi)部作正方形AB1C1D1，連接DD1，①求證：∠ADD1=90°。

②連接CC1，猜一猜，∠C1CN的度數(shù)？并證明你的結(jié)論。

③在ON上任取一點B2，以AB2為邊。在∠MON的內(nèi)部做出正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結(jié)合①，②的結(jié)論，請你再做出一個合理的判斷。

分析：本題中并沒有出現(xiàn)原型中的“K”型圖，需要我們根據(jù)對題意的理解構(gòu)造基本圖形，從而出現(xiàn)我們熟悉的圖形。人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的。當問題的條件不夠時，添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關系，建立已知、未知間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化成自己已經(jīng)會解的情況，這是解決問題常用的策略之一。

四、感悟與反思

新課標明確指出：教師應激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正掌握基本的數(shù)學知識和技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。

回顧以上對這道課本習題進行研究及其拓展的過程，都給學生充分創(chuàng)造了探究活動的機會，讓學生積極主動地進行數(shù)學探索，發(fā)展了學生的思維，拓寬了學生的視野。課本練習題都是由許多具有豐富理論修養(yǎng)與豐富實踐水平的專家經(jīng)過深思熟慮、反復醞釀，最后編撰而成的，它是教師課堂教學的依據(jù)，是教師“教”與學生“學”的中介。它們中有不少題內(nèi)涵豐富，對強化雙基，開發(fā)智力，培養(yǎng)能力都存在極大的潛在價值。在平時的課本練習題教學中（特別是在中考復習教學中），如果我們教師能根據(jù)題目的特點，對其進行挖掘、變式、延伸和拓展，多給學生創(chuàng)設思維活動的空間，引導學生進行適當?shù)挠^察、比較、猜想、引申、拓寬等思維訓練，這不僅能把已學的知識點串成線，線聯(lián)成網(wǎng)，組成知識面，使學生能解一題、明一路，提高學生數(shù)學學習的效率；而且還可以有助于發(fā)展學生思維的廣闊性，培養(yǎng)學生思維的深刻性，提高學生思維的敏捷性，形成學生思維的創(chuàng)造性。

五、結(jié)語

數(shù)學課本是數(shù)學知識的系統(tǒng)載體，是《教學大綱》的具體體現(xiàn)，也是我們教師平時教學最重要的參考依據(jù)。課本中的很多練習題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓。我們教師要重視和挖掘教材，絕不能忽視課本習題而去搞大量的課外習題。在對課本習題的探究道路上，本人也才剛剛起步，但會一直堅持下去，套用屈原的一句名言：路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。

參考文獻：

1.義務教育教科書《數(shù)學》八年級上冊.浙江教育出版社，2013.

2.義務教育數(shù)學課程標準.北京師范大學出版社，2011.

3.呂勤，吳榮華.課堂大問題：學校高效課堂問題診斷.南京大學出版社，2011.9.

4.劉堤坊.數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的三維視角.現(xiàn)代教育出版社，2008.3.

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)徑山鎮(zhèn)中學）