摩擦角在解題中的應用

徐偉岸

如圖1，物體在粗糙的水平面上向右運動，設物體所受到的支持面的彈力為N，滑動摩擦力為f，支持面對物體的作用力為F，Fμ與N的μμμμ夾角為θ，動摩擦因素為μ，則tanθ=f/F=μ，θ就是摩擦角，由于f與N成正比，μ一定時有θ為定值。

下面例舉幾個利用此特點來解決的問題：

問題1：物體在粗糙的斜面體上沿斜面正勻速下滑，斜面體始終靜止，問斜面體受到地面的摩擦力是多少？

分析：因為物體勻速下滑，物體受的合力為零，所以必有圖2中的F豎直向上，由幾何關系易證明θ=α（斜面的傾角）=定值。又因F是斜面對物體的作用力，所以物體對斜面的反作用力F必豎直向下，斜面體沒有水平方向的動力也就沒有水平方向的運動趨勢，斜面體受到的地面的摩擦力為零。

變式1：如果在物體正沿斜面下滑中再加一個沿斜面向下的力作用在物體上，斜面體受到地面的摩擦力又會怎樣？

分析：顯然，此時的物體將加速沿鞋面下滑，合理不為零，但N和f都不變，所以F和F也不變，所以結果同上。

變式2：如果在物體正沿斜面下滑中再加任一方向的力于物體，且物體繼續沿斜面下滑過程中，斜面體受到地面的摩擦力又會

怎樣？

分析：此時雖不能具體知道該力的大小和方向，N的大小有可能不變、變大或變小三種情形，但不管哪種形式f總是與N成正比，且又因N的方向不變，動摩擦因素μ不變，所以摩擦角θ不變，從而F的方向一定還是豎直向上的。當然F的大小可能相應的不變、變大或變小，但這絕不會影響F的方向一定時豎直向下的，所以斜面體受到地面的摩擦力仍然為零。

如果物體當初沿斜面是加速下滑，斜面體仍始終靜止，此時斜面體受到地面的摩擦力又會如何？也有類似的結論嗎？如圖3所示。

此時易得圖3中的摩擦角θ小于α，F的方向向上往左偏，從而F的方向向下往右偏，此時靜止的斜面體受到地面的摩擦力必向左，所以同樣有類似的結論：當突然給正沿斜面加速下滑的物體一個（或多個）任意方向的力在物體仍沿斜面下滑期間，地面給斜面體的摩擦力方向不變，但大小會有相應的變化。

圖4是物體正沿斜面減速下滑時的情形，易得摩擦角θ（如圖）要大于α，F的方向向上往右偏，從而F的方向向下往左偏，此時靜止的斜面體受到地面的摩擦力必向右，從而也有類似的結論。

問題2：如圖5所示，物體在粗糙的水平面上受到變力F的作用，始終向右勻速直線運動，已知物體的質量為m，物體與水平面間的動摩擦因數為μ，拉力F與水平方向的夾角為α，當α從0°緩慢變到90°的過程中，F和摩擦力f如何變化？

分析：物體此時受四個共點力：G、N、f、F，其中G是恒力，N，f是變力，顯然F直接影響N，進而影響f，但是變力N，f的合力F的方向是不變的（因為摩擦角θ有tanθ=μ=定值）。可見物體相當于始終受三個共點力（F、G、F）作用而處于平衡狀態，關于此類特點正好可以用圖解法討論，如圖5作出F、F的合力，由平衡條件的推論可知：此合力必與G是一對平衡力，當F的方向由α從0°緩慢變到90°的過程中，F是先減小后增大，且Fmin=mgsinθ（此時的α=θ），而f則一直變小。

滑動摩擦力的摩擦角為一定值，許多問題的討論會變的簡單，而靜摩擦力f與N不成正比，所以摩擦角不是定值，我們在解題時一定要區分是哪類摩擦力，而不能一概而論。