級數的“人文概述”

周東瓊

【摘要】級數是研究函數的一個重要工具，在理論上和實際應用中它都處于重要地位。級數能表示某些非初等函數，微分方程的解就常用級數表示；同時，可將函數表為級數，從而借助級數去研究函數，如用冪級數研究非初等函數，以及進行近似計算等。因此我們有必要學習級數這個概念，本文對級數思想的起源與發展、級數的研究內容進行探究。

【關鍵詞】函數 級數 起源 發展 斂散性

那么，什么是級數呢？看下面兩個例子。

例1.“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。如果把每一天截下的那一部分的長度加起來，則得到下面的式子：

該式子中有無限個數相加。從直觀上看，它的和顯然是1。

例2.將 與 無限循環相加，得到下面的式子：

若將它寫成： 則結果無疑等于0

但是，若寫成 則結果又等于1。

有限個常數相加一定有和，但是無窮個常數相加（數項級數）或無窮個函數相加（函數項級數）的結果就不盡然了。

1.級數的萌芽

歷史上級數出現得很早，早在公元前4世紀就知道公比小于1（大于零）的幾何級數具有和數。14世紀，N.奧爾斯姆證明了調和級數發散到+∞。但是直到接近于微積分發明的年代，我們才能脫離幾何表示而達到級數和的純算術概念，進一步把級數視為獨立的算術運算并正式使用收斂與發散兩詞。級數收斂概念的逐漸明確有力地幫助了微積分基本概念的形成。

2.級數的發展及理論形成

微積分在創立的初期就為級數理論的開展提供了基本的素材。它通過自己的基本運算與級數運算的純形式的結合，達到了一些初等函數的（冪）級數展開。在此以后，級數便作為分析函數的等價物，用來計算函數的值，代表函數參加運算，同時所得結果闡釋函數的性質。在運算過程中，級數被視為多項式的直接的代數推廣。這些基本觀點的運用一直持續到19世紀初年，獲得了豐碩的成果。這些成果主要歸功于歐拉、雅各布第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里葉等。

同時，悖論性等式的不時出現（如1/2=1-1+1-1+…，-1=1+2+4+8+…之類）促使人們逐漸地自覺到級數的無限多項之和有別于有限多項之和這一基本事實，注意到函數的級數展開的有效性表現為級數的部分和無限趨近于函數值這一收斂現象，提出了收斂定義的確切陳述，從而開始了分析學的嚴密化運動（B.波爾查諾1817、柯西1821、阿貝爾1826）。

微積分基本運算與級數運算相結合，引導人們加強或縮小收斂性而提出一致收斂的概念[K.（T.W.）外爾斯特拉斯（1841）、G.G.斯托克斯（1847）、 P.L.von賽德爾（1848）]。然而（在天文學、物理學中，甚至在柯西本人的研究工作中）函數的級數展開，作為一整個函數的分析等價物，在收斂范圍以外的不斷的成功的使用，則又迫使人們推廣或擴大收斂概念而提出漸近性與可和性（龐加萊，1886；切薩羅，1890；波萊爾，1895）。

級數理論中的基本概念總是在其樸素意義獲得有效使用的過程中形成及發展的。高等數學對于級數的研究，級數求和問題是級數理論中相當重要的內容，由于級數求和的方法很多而且難度大，因此是數學分析學中的難點之一。目前，系統講解級數求和的論著相對較少，但相關的文獻資料還是非常豐富。我了解到可以利用子列極限求部分和、微分方程法、歐拉常數法、利用復數求級數和等等方法。 我們很有必要了解簡單的級數斂散性的判定及特殊級數的展開方式。

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