例談一類排列組合問題建模

許年堤

排列組合問題解題方法獨特，結果不易驗證，思維比較抽象靈活，在解題過程中，學生往往缺乏自信心，因此在課堂教學中如果我們能把一些常見的排列、組合問題歸納、類比到一組單一的學生能掌握且比較熟悉的模型上，無疑對解題是有益的。在此筆者談談把球放入盒子問題的幾種模型。

1 、把5個不同的小球放入5個不同的盒子（不限制盒子放球數，每盒最多可放5個）有幾種不同的放法？

分析：5個小球分5次放（5步），每一個小球有5種放法。

解：有分步計數原理得

評述：本題是利用分步原理求解，模型為n個不同的球放入m個不同的盒子中（每盒可以放n個）有mn

2、把5個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

分析：本題就是5個不同的元素按一定順序排列的排列個數，是一個典型全排列問題。

解：

3、把3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

解： 或

評述：本題是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解為從5個不同盒子中先取出3個盒子然后將3個小球一對一的放入每個盒子即為全排列

模型：把m個不同的元素放入n個不同的對象（ ）（每一個對象只能放一個元素）其排列數為 ，其實就是對排列概念的真正理解。

4、把7個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至少放一個，有幾種不同的放法？

分析：先把7個小球分成5組，再把5組（5個元素）進行全排列，分組有兩類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各組的組數分別為 ， 因此：N=

評述：本題是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每個盒子至少放一個球，因此要先分組（把這些元素分成與位置一樣的組）后排列；要注意寫出有幾類不同的分組，同時分組要注意平均分組和局部平均分組的計算方法。（這里就不展開了）。

5、若5個不同的小球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子，每個盒子放一個，且要求乙球放入的盒子編號要比甲小，丙球放入的盒子編號要比乙球小，有幾種不同的放法？

分析：先在5個盒子中選出兩個放入另外兩個球有 ，剩下的3個盒子中按號從大到小放甲、乙、丙，只有一種方法。因此，N=

評述：本題對3個不同小球限制了條件。看上去有順序限制，事實上是變成了與順序無關的組合問題。

6、把紅、黃、藍、白、黑5個小球放入5個不同的盒子中，每個盒子只能放一個：

若要求紅黃相鄰，有幾種不同的放法；

若紅、黃不相鄰，有幾種不同的放法；

紅球不在1號盒子，黃球不在5號盒子，有幾種不同的放法？

分析：（1）把紅黃兩個球看作一個整體與另外3個小球進行全排列有 ，又紅黃兩個小球可以進行全排列 ，故N=

（2）因為另外3個小球能制造4個空檔，所以先3個小球的全排列有 ，而紅、黃兩球的排法有 ，故N=

（3）本題可用間接法

評述：（1）（2）兩題是常見的相鄰與不相鄰問題，分別采用捆綁法和插空法，學生應該比較熟悉。而（3）是常見的對元素（或位置）進行限制的問題。分別對兩個元素限制不能排在某兩個位置上的排列模型為： 或

7、3個相同的小球放入到5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

分析：先從5個盒子中任取3個盒子有 種，由于放入的是相同的元素，故是無序問題，所以N= 。

評述：本題突出了球相同，說的是把相同的元素放入到不同的位置，是組合問題，是對組合概念的具體化，不過其特點是球少盒子多。（元素少，位置多）

8、把7個相同的小球放入5個不同的盒子，要求每個盒子至少放一個，有幾種不同的放法？

分析：法一：先把7個小球分成5組有以下幾類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2，∵元素是相同的，故第一種有 （或 ），第二種有 （或 ）∴N= + =15

法二：相同元素分配用擋板法，故有 =15種

評述：本題是相同小球m個放入n個不同的盒子（m>n），每個盒子中至少一個元素，用擋板法比較簡練，類似的有名額分配問題。

引申：若把12個相同的小球放入5個不同的盒子，要求每個盒子至少放2個，有幾種不同的放法？

分析：先在每個盒子上先放上1個小球，再將剩下的7個小球用擋板法分別放入到5個盒子中，有 =15種

評述：本題是先為利用擋板法創造條件，因為使用擋板法的前提一般是保證“至少一個”，且“各元素是相同的”，要注意與不同元素的分組問題的區別。

上述幾種類型基本涉及到了中學階段一些排列組合問題，學生在平時訓練中若能有意識地對照這些類型尋找與之相同的題型，逐漸形成解題的模型。對提高學生的審題能力、思維的敏捷性和解題的自信心是有幫助的。