以知識整合促思維躍遷

高金德+++徐鐸厚

摘 要：相對于知識的線性展開，知識間的整合對學生的思維發展具有更大的價值.因此，教師要開發整合課程，以幫助學生整合不同知識，促進思維方式的轉變和躍遷，發現知識之間的內在統一，使貌似互不相容

課程內容的編排和教學過程的推進，一般都按照由簡到繁、由低級到高級、由直觀到抽象的循“序”原則進行.這對于線性知識的學習非常有利，但當遇到知識間跨度較大的情況，師生則會遇到極大挑戰.

就拿“方程”與“函數”來說，單純從某一個方面出發，而不考慮二者的內在統一性，就有可能走到“山重水復”的境地.在現實的課堂中，雖然有些教師在講授函數的時候，會涉及方程的知識，但大多采用拿來主義的方式為我所用，學生難以從更高的層面把握二者的本質聯系，無法整合思維慣性，難以形成上位思考.為此，我們開發實施了專門的整合課程，以幫助學生整合不同知識，促進思維方式的轉變和躍遷，發現知識之間的內在統一，體驗“峰回路轉”，享受“柳暗花明”.

一、順勢而為突遇障礙 智慧顯現盡在后續

教師：請同學們一起回答下面算式的結果.（板書：2-1=？）

學生驚訝.

教師：那如果我將上式改成下面一個等式，你會想到什么呢？（板書：x-1=1）

學生1：這是一個一元一次方程.

學生2：這個方程的解為x=2.

教師：很好，那如果我再將上式改成下面一個方程，你又會想到什么呢？（板書：x-y=1）

學生1：這是一個二元一次方程.

學生2：這個方程的解為x=y+1.

學生3：不對，x=y+1不是該方程的解，x的值應該是一個具體的值.所以這個方程沒有解.

學生4：不對，我看x=2，y=1就應該是這個方程的解.

教師：噢，還有其他表達形式的解嗎？

學生1：有，x=3，y=2； x=4，y=3；x=5，y=4等等都是該方程的解.

學生2：這些解的形式是成組出現的，并且有無數組.

教師：既然二元一次方程x-y=1有無數組解，那么我們究竟用怎樣的方式來表示這無數組解呢？用怎樣的呈現形式來更為直觀地描述這無數組解呢？

課堂現場：學生討論，無果，留下疑惑：方程的解都是具體的數值，而能滿足方程成立的數值有無數組，無數組解的表達是永遠不可能實現的.

教師：請同學們思考一下，在過去的學習中，哪些知識是用有限形式代表了無限形式的表達呢？

學生1：循環小數的表達是用有限形式代表無限形式的.比如：0.33……，因小數點后面有無限多個3而無法全部寫出，故用0.■表示即可.

學生2：無理數的表達也是用有限形式代表無限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一個無限不循環小數，如果把所有的小數點后面的部分用數字表達是無法全部寫出的，故用■或-■來表示即可.

學生3：在幾何作圖的時候也存在用有限形式替代無限形式的表達方式，比如直線AB的作圖，我們即可用下圖的作圖方式表達，端點A、B之外表示向兩方無限延伸.（學生作圖如下）

學生4：哦，看來不能用常規形式表達的時候，可以轉化其表達形式.所以我想二元一次方程x-y=1的無數組解也應該有辦法表達，只不過要選擇一種新的表達形式，那又該選擇怎樣的表達形式呢？

【設計意圖】通過教師將三個等式逐一列舉的過程，讓學生感受從算式到方程的微妙變化；讓學生意識到一元一次方程有唯一一組解，而二元一次方程則有無數組解.于是一個問題將呈現在學生面前：二元一次方程的無數組解該如何表達？窮極學生思維，把學生帶到“行到水窮處”的境地，讓他們體驗到“山重水復疑無路”的窘迫，引發學生欲罷不能、躍躍欲試的情感沖動.

二、歷史融入智慧復演 原理探究策略達成

教師：這個問題，在數學發展史上有很多人研究過，法國數學家費馬就是其中一位.1630年在其論文《平面與立體軌跡引論》中提到：“兩個未知量決定的方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線.”大家從這句話中，能否發現什么呢？

學生1：我認為這位數學家是從軌跡的角度研究方程的，即從直線或曲線的角度研究方程式.這樣一來，直線或曲線的形式將更為直觀地描述無數組解，跳出方程的解的常規思路.

學生2：可是如何從軌跡的角度研究方程呢？就比如我們剛才探討的二元一次方程x-y=1，它怎么能與軌跡聯系到一起呢？

學生3：我們原來學習一次函數的時候，往往要研究函數的圖象，一次函數的圖象是一條直線，可是這里沒有一次函數的解析式啊.怎樣才能把二元一次方程與一次函數建立聯系呢？這種聯系又要通過怎樣的方式方法來實現呢？

教師：很好，大家的思考非常有價值.我們研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其無數組解.對于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是該方程的解，像這樣形式的解有無數組.我們如果將其轉化成有序實數對（1，0），（2，1）形式，那么也就構成了點的坐標形式……

學生1：老師，您的意思是否是這樣的：把 x=1，y=0，x=2，y=1，通過有序實數對的形式轉化成點坐標（1，0），（2，1），并在直角坐標系中表示出來.這樣方程的兩組解就轉化成兩個點，這兩個點不正是方程的兩組解所對應的軌跡嗎.

學生2：如果能將更多組解轉化成其對應點的軌跡，那么方程對應的軌跡不就表示出來了嗎.可是無數組解一個一個地轉化不也是很麻煩的嗎？

教師：這個問題問得非常好，哪位同學能夠幫助他解決這個問題？

學生3：其實，將二元一次方程x-y=1進行恒等變形為y=x-1的形式，就有點一次函數的外形了.聯系到我們學過的一次函數圖象，就可以把x的值與對應的y的值看成是數對，在平面直角坐標系中找到對應的點.如此，二元一次方程無限組解的表達困難也就因新的表達方式迎刃而解.

教師：非常好，大家探究的正是方程和函數內在統一性的問題，請大家整理一下自己的發現.

【設計意圖】一次函數及其圖象的引入有多種方式，本環節我們是通過二元一次方程引入一次函數，通過對方程的解引入函數圖象，讓學生更為深刻地知道函數圖象的形成原因.這種做法恰恰符合大數學家費馬的解析幾何的基本原理.同時，教材知識的安排一般按照從數、等式、方程、方程的解、函數、函數圖象這樣一種順序，因此以上環節的探究活動更符合學生的認知規律.

融入費馬解析幾何的基本原理，目的就是讓學生在融入數學家思想的前提下對已有的問題進行思考，這正是數學家智慧復演的現實體現.在這樣一個過程中，我們自然達成二者的內在統一性：1、單組解與單個點的內在統一性，即二元一次方程的一組解唯一對應一次函數圖象的一個點. 2、無限組解與整個圖象的內在統一性.即二元一次方程組的所有組解與一次函數圖象完全對應統一.同時形成研究二元一次方程與一次函數的策略：站在“形”的角度研究二元一次方程的解——數，即用一次函數圖象來表達二元一次方程的無數組解；站在“數”的角度研究一次函數圖象——形，即用二元一次方程無數組解來認識一次函數的圖象.

如此一來，學生便有了一種“坐看云起時”的釋然，體驗到“柳暗花明又一村”的快樂.

三、策略運用勢不可擋 知識匯聚四方輻輳

教師：請同學們思考以下問題：

1.一次函數y=x-1與y=-2x+1在同一坐標系中的圖象如圖1所示，思考：問題1：從方程的角度看，兩條直線代表什么？

問題2：從函數圖象上看到的兩條直線的交點A，從方程的角度看，它又有怎樣的含義？

學生1：一次函數y=x-1的圖象可以認為是二元一次方程y=x-1所表達的無數組解，同理，一次函數y=-2x+1的圖象可以認為是二元一次方程y=-2x+1所表達的無數組解，點A可以認為是同時滿足兩個二元一次方程y=x-1和y=-2x+1的一組解.

學生2：如果進一步思考的話，聯立方程組y=x-1，y=-2x+1并求出該組解，即可得點A坐標.

教師：很好，那么我們又如何處理下面這個陌生的問題呢.

2.一次函數y=x-1與二次函數y=x2-x-2在同一坐標系中的圖象如圖2所示.思考：如何求出直線與拋物線的交點坐標A、B？

學生1：老師，二次函數是什么意思，我們還沒有學過啊.

學生2：我們可以認為后面一個是一個二元二次方程，它對應的曲線就是方程y=x2-x-2的無數組解.直線對應的是方程y=x-1的無數組解.點A、B正是同時滿足以上兩個方程的公共的兩組解.

因此聯立方程組y=x-1，y=x2-x-2，求解即得A、B的坐標.

教師：很好，下面涉及到高中函數內容的問題，不知大家敢嘗試嗎？

課件展示：3、觀察下列函數圖象（圖3—圖6），請說出其交點坐標的求解思路.

學生：在圖3中點A可以認為是二元一次方程y=x+1與二元三次方程y=x3的公共解，聯立方程組y=x+1y=x3求解，即得交點坐標，后面三個問題也是如此.

【設計意圖】學生在明晰費馬解析幾何基本原理的基礎上得出方程與函數的內在統一性之后，自然可在函數圖象交點問題的求解過程中形成策略.而這一策略的應用范圍是非常廣泛的，在更多的函數圖象中，凡是討論到交點的問題，聯立方程組是一條非常好的思路.

當這種策略根植于學生的內心世界中，面對同類問題，不管其中的知識是學過的，還是沒有學過的，都能迎刃而解.而牽扯到學生尚未學習過的知識，也能圍繞策略的運用而匯聚在一起，正如車輪上的輻條聚集在轂上那樣匯集到一處.學生通過策略的運用看到更為廣闊的知識天地，也將發現這些不同知識背后的聯系.

像這樣一種方式的課堂，問題的呈現不是簡單的羅列，而是在符合學生認知規律前提下由淺入深的設計；思維的呈現不是即時性的，而是一個有序的、突出其連續性的思維鏈條，前后呼應，互為印證，在解決問題的過程中打通知識之間的通道，搭建知識之間的橋梁；策略的呈現不是教師直接給予的，而是在深入思考問題的過程中凝聚而成的經驗結晶；知識的呈現不是嚴格按照教材中規定的先后次序進行，而是在學生的思維及思維的躍遷中，自然而然地熔煉成一個相對完整的體系，看似打亂了章節知識的次序，實則建構了學生整體把握知識的意識.

數學知識在教材中的呈現有先后，但學生的思維發展有時需要躍遷，也正是這種跳躍催生新的知識，這在數學發展史上成為常態.由此，基于教材而不拘泥于教材設計的整合課程，理應走進學生，成為促進學生發展的有效方式之一.在日常教學中，我們充分挖掘不同類型的知識之間的跨界價值，開發出很多這樣的整合課程，深受學生歡迎.

可見，數學教學改革，不應也不會專注于“術”的癡迷而失卻“道”的考量，迫切需要形而上的大格局意識.因為，沒有這種形而上的深度思考，就很難形成形而下的精準定位.當學生有了對知識之間的本質屬性的把握后，居高臨下，融會貫通，才能既見到樹木，又看到森林，貌似互不相容的“天塹”因變換解決問題的角度而成為“通途”.