論如何提高初中學生的數學解題能力

楊曉蘭

不少學生反映，課上聽得懂，就是自己不會做；即使把定理背的滾瓜爛熟，把公式默寫的一字不差，也模仿例題做了不少練習，可課下一解題，經常出錯，而遇到新題又束手無策。究其根源：教學！“教”：照本宣科，學生依樣畫葫蘆；“學”：學習者不求甚解，不去深入的領悟所學知識，更不重視探索過程、發現過程的反思，只求知道個最終結論或最終套路。我為了提高學生的數學解題能力，在教學中留心多年，先將點滴體會介紹如下，僅供參考。

一、新課講授準確、全面，并據前瞻性

例如，在講授（人教版第二十四章）圓和圓的位置關系一單元時，若采用：通過板演圓與圓五種位置關系的圖形，引導學生觀察并發現五個等價命題之后，便開始例題教學，布置學生完成書后練習與習題，表面上看一帆風順，實質由于教師的照本宣科，學生失去了一次深入理解，發展提高的機會。所以在教學中，我除了先幻燈演示，然后板演書上五種位置關系外，還讓學生在我的提示下觀察圖①，發現：同在x軸上的兩個半徑分別為R.和r（R>r）的⊙A和⊙B，圓心A、B的坐標分別是（xA，0）和（xB，0），則圓心距d=│xA-xB│。外切時，圓心距d=│xA-xB│=R+r；內切時，圓心距d=│xA-xB│=R-r；內含時d=│xA-xB│

還有，兩個圓相交，除黑板上、書上所畫的兩個圓的圓心分別在公共弦兩側這種情況外，圓心還有別的情況嗎？結果，學生通過思考，作圖后發現，原來兩圓相交，還有圓心在公共弦同一側的情況。接著又進一步提出：這兩種情況中圓心距、半徑、弦心距三者關系有什么不同嗎？對照觀察圖②、圖③后，學生發現：當圓心在公共弦兩側時，兩圓圓心距等于弦心距（這里指公共弦的弦心距）之和；而當兩圓圓心在公共弦同一側的時侯，圓心距則等于弦心距之差。如果講完課，未做適當引申與拓展，一旦新題型出現，學生肯定：要么，束手無策；要么解錯了。

圖1 圖2 圖3 圖4

例如：2010.聊城中考就有這樣一道題：如圖④，小圓的圓心在原點，半徑為3，大圓的圓心坐標為（a，0），半徑為5，如果兩圓內含，那么a的取值范圍是_。一些同學無從下手，而另一些同學又會錯誤的答成0

再如，由于學生對兩圓相交缺乏全面認識而導致錯誤的題：相交兩圓的公共弦為6，兩圓的半徑分別為3 和5，則這兩圓的圓心距為_。很多學生因為對兩圓相交考慮不全面，只答出了7，而漏答了1。

以上兩例充分說明，學生解題能力與教學的關系了。若教學中，充分意識到知識的引申與拓展的必要性的話，情況會大不一樣！多年教學嘗試與思索中我深深悟到：學生解題能力差，往往是教師教學啟發的不夠，前瞻性不強所致，教學中應多一分思索、多一點啟發，學生將會越來越愛學、越來越會學，也越來越聰明。

二、一題多解、甚至巧解，且充分重視對探索過程、發現過程的反思

例如，再講2010.樂山中考一題：如圖⑤，正六邊形ABCDEF的邊長為2cm，點P為這個正六邊形內部的一個動點，則點P到這個正六邊形各邊的距離之和為__cm。有學生把P點當作正多邊形的中心后，迅速得出結果6cm。理由是此時距離之和應是邊心距的6倍。首先肯定，這樣做很巧妙，答案也固然對，但至于為什么便不去想它了。

圖5

此時，因不失時機引導學生去探索、去發現：①通過六個三角形面積之和等于總面積而得出；②由正六邊形三組邊分別平行，而平行線之間的距離處處相等，從而推出：點P到這個正六邊形各邊的距離之和是個定值，為邊心距的六倍。接著問：如果改為是正三角形、正五邊形、正七邊形，……，其他條件不變，結論又會如何呢？為什么？你能得出個公式來嗎？學生在一個個問題的層層深入中去思考、去討論、去發現，最后得出結論：通過n個三角形面積之和等于正n邊形的總面積，可得出一個公式：正n邊形內任意一點到各邊的距離之和一定是此n邊形邊心距的n倍。以上教學，不但解決這道題，還讓學生學會了利用面積比拼解決其它多邊形中這類問題的方法，更重要的是通過引導學生在思考、探索中不斷發現，不斷去總結，既提高了學生的數學思想，又培養了學生的鉆研精神和嚴謹科學態度。長此以往，學生的數學解題能力才能得以真正意義上的提高。

再比如，初三第二十二章 22.3實際問題與一元二次方程教學過程中遇到的利用平移方法解決面積問題的教學中，我做了這樣的嘗試：

例如，（人教版P54頁）這樣一道題：如圖⑥，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長100，下底長180，上下底相距80，在兩腰中點連線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，用到的面積是梯形面積的六分之一，甬道的寬應是多少米？（結果保留小數點后兩位）

學生因為有教材P49頁第9題以及一些變式訓練，如

于是迅速找到突破口，有了下列解法：

解：設道路的寬度為x米

學生分別有兩種列法：

其中第二種方法顯然運用了平移的數學思想，但必須提出讓學生思考的是：當我們把橫著的道路去除后，上下兩個梯形已不能組成一個高減小x米的梯形了，為什么你們還能用平移拼接的方法列出了第二種形式的方程呢？難道錯了嗎？如果對，那又是為什么呢？為講清楚這個問題，我把圖形研究的重點放在如何裁剪中間甬道后，再拼接的問題作為重點。讓學生用動腦、也動手，逐漸明朗、發現：

此題中最重要的一個條件：“在兩腰中點連線處有一條橫向甬道”，也正因如此，如圖，

要么由，（其中，h、MN分別為梯形ABCD的高和中位線，x為甬道寬）

或者，△APE≌△BPE，ΔDHQ≌ΔCGQ

∴=；=，

∴ +=

所以，第二種采用平移、比拼方式列的方程也就是正確的了。

通過以上分析與反思，使學生知其然，也知其所以然了。

三、上好復習課，要合理設置有針對性和代表性的例題和練習題。例如，在組織學生復習一元二次方程解法時，我先從一元二次方程的概念入手，配備例題，以便更好的幫助學生理解并掌握

例如：當m為何值時，關于x的方程（k-1）-2x+6=0是一元二次方程？學生要緊扣一元二次方程滿足的兩個條件：一是最高次項系數為2；二是二次項系數不為零，才能準確的解決。這樣圍繞知識結構，有目的的進行循序漸進的復習。接著，對一元二次方程的四種解法展開復習，落實每一種解法的一般步驟，并通過一定數量的練習，使學生在復習中將所學知識得到很好的鞏固和提高。在學生的訓練中教師抓住典型錯誤及時給予糾正，對部分學困生給予幫助。最后，出現一些變式題，以引導學生發現并總結："降次"（直接開平方、因式分解）的數學方法和把"不會"變為"會"、把"新知識"轉化為"舊知識"（化一元二次方程為一元一次方程）的劃歸思想，這樣可以使更多的學生學會學習、學會思考，使以后學習更具潛力。例如：通過以上拓展，一部分數學基礎好的學生就能聯想到分式方程、雙二次方程、甚至是簡單的無理方程可通過去分母、換元、兩邊同時平方不就可以將不會的變成會的了嗎？一節課下來使大部分學生鞏固了一元二次方程的四種解法，而學有余力的孩子有了思維、拓展和上升的無限空間。真可謂：做題初，趣已生；做題時，趣意濃；做題終，趣不盡！也體現了面向全體學生的同時，因材施教的教育原則。

再如，在學完反比例函數之后，我及時上了堂復習課，復習中除了對反比例函數圖像、性質、典型體例做復習外，我還把它和一次函數（包括正比例函數）又做了對比，復習中既注意它們的區別，更加強了由易到難、分層次、階梯式的綜合訓練，這樣，我認為不單單提高了學生的解題能力，更重要的是培養學生學好數學的方法和習慣，既提高了學生智力，又注重了學生非智力因素的培養。下面是我設計的一組題：

1.畫出函數y=kx+b與y=，其中k≠0，在同一平面直角坐標系內的圖像的所有可能性。（鞏固兩種函數的圖像和性質，并訓練學生思維的嚴密性和完整性）。

2.已知一次函數與反比例函數的圖像交于點p（-2，1）和Q（1，m）。求這兩個函數的解析式，在同一坐標系內畫出圖像，并根據圖像回答：當x為何值時，一次函數的值大于反比例函數的值。（此題既鞏固了函數的基本知識，又訓練了學生運用數形結合的方法來解答問題的能力）。

3.為了與預防流感，某學校在休息天用藥物消毒法對教室進行消毒。已知藥物釋放過程中每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時

間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系是為y=（a為常數），如圖所示。據圖中提供的信息，解答下列問題：

①寫出從藥物釋放開始，y與t的兩個函數關系式及相應的自變量取值范圍；

②據測定，當空氣中每立方米的含量降低到0.25毫克時，考生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要多少小時后，考生才能進入教室？（既鞏固了知識，提高解題了能力，更重要的是，對學生數學學以致用能力的提高進行了很好的訓練）。

綜上所述，教學中也只有通過比較、探索、討論、反思，甚至是爭論的過程，學生才能真正弄懂，并從根本上理解和體會數學的樂趣，不自覺的在每一次體驗中提高數學的解題能力，更長遠一點說：為學生的后繼學習和可持續發展打下來良好的基礎。因此，我認為在教學中：不能只求學生一時的懂，而要為教學生為求精而學！