數學應讓學生學會思維（中）
——數學核心素養(yǎng)的理論性思考與實踐性解讀

文︳鄭毓信

數學應讓學生學會思維（中）
——數學核心素養(yǎng)的理論性思考與實踐性解讀

文︳鄭毓信

三、努力養(yǎng)成學生長時間思考的習慣與能力

這是諸多數學家的一項共識，即認為數學學習的主要功能之一是有益于人們學會長時間的思考。但是，我們在現(xiàn)實中過分突出了學生即興思維能力的培養(yǎng)，以致完全忽視了對思考的習慣與能力的培養(yǎng)。

由以下論述我們可更好地理解切實糾正后一傾向的重要性。

日本著名數學家、菲爾茨獎獲得者廣中平佑曾明確指出：“思考問題的態(tài)度有兩種：從專業(yè)角度看，一種是花費較短時間的即時思考型，一種是較長時間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據思考的對象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人。但是，現(xiàn)在的……教育環(huán)境不是一個充分培養(yǎng)長期思考型的環(huán)境。……沒有進行長期思考性訓練的人，是不會深刻思考問題的。……無論怎樣訓練即時性思考，也不會掌握前面談過的智慧深度。”（引自廣中平佑，《創(chuàng)造之門》，中國華僑出版社，1991）

“臺灣學生在歷年國際評比中的數學表現(xiàn)、成就表現(xiàn)始終名列前茅，然而……學生對于數學的功用、喜愛和自信心的表現(xiàn)卻始終是倒數前幾名……呈現(xiàn)出‘高成就、低信心’的特征……猜測造成此現(xiàn)象的主要原因來自于考試制度下的數學學習特性，學生為獲取較高分數，必須使用適當的演算法快速求得答案……學生少有時間與機會發(fā)展自己的思想，學習多為被動、背誦及反復練習的方式。”[8]

在此還可特別提及2002年諾貝爾經濟學獎得主康納曼的名著：《快思慢想（Thinking，F(xiàn)ast and Slow）》（Penguin Books，2011）。這一著作主要集中于日常思維的研究，以下就是作者的主要結論：這是日常思維的主要特點，即快思占據了主導地位。但是，盡管后者對于人類的生活與工作都有十分重要的作用，但常常會導致各種系統(tǒng)性的錯誤，并因此造成一定的消極后果。

綜上可見，這就是數學教育所應發(fā)揮的一個重要作用，即幫助學生學會長時間的思考，從而切實減少快思（日常思維）可能出現(xiàn)的弊病。

那么，我們如何幫助學生很好地學會長時間的思考呢？就當前而言，以下一些環(huán)節(jié)可被看成具有特別的重要性，即我們在教學中應當很好地處理快與慢、多與少、熱鬧與安靜以及學生的獨立思考與合作學習、積極交流之間的關系。

例如，盡管以下的論述來自語文教師，但顯然也適用于數學教學。

“如果一節(jié)課的內容太多，承載的任務太重，學生上課時很忙碌，思考力就很難得到提升，學習力會越來越弱。若課堂只聚焦幾個核心問題，讓學生深入思考，看上去學得少、學得慢，但思考的方式、方法豐富了，思考力便能提高，且會越來越強。”（林鶯）

“傳統(tǒng)教學強調激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生參與學習的積極性與主動性，課堂往往呈現(xiàn)出熱鬧的氛圍……而我們……倡導安靜，是否會因靜而冷，冷卻了學生的學習興趣，影響學生的注意力甚至學習成效呢？對此，我們在反思中從心理學角度幫助教師消解困惑，認識到人的思維專注進入心無旁騖的境界，便走向了潛心靜思，而安靜的氛圍就會保證這種靜思不受干擾。”（林莘）

進而，我們顯然也可從同一角度思考數學教學中應當如何處理學生獨立思考與合作學習、積極交流之間的關系。這也就如著名數學家陳省身先生所指出的：“數學是自己思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。但是，思考數學問題需要很長時間。我不知道中小學數學課堂是否能夠提供很多的思考時間。”

綜上可見，我們就應明確倡導“認真地想，靜靜地聽，輕輕地說”這樣一種學風，努力營造安靜的課堂、思維的課堂、開放的課堂。

顯然，上面的論述也可被看成從又一角度更為清楚地表明了教師引導作用的重要性。就目前的論題而言，我們可做出如下的概括：教師在教學中應給學生的獨立思考提供足夠的時間與空間。

以下再提供這方面的一個實例。

例3圖形的放大與縮小的教學。

這是蘇教版教材六年級下冊的一個內容。以下是教材中對這一題材的處理方式（見圖3）。

圖3

也正因為此，在現(xiàn)實中，我們經常會看到這樣的教學設計，即圍繞上述問題放手讓學生進行探究：“放大前后，照片的長有什么關系，寬呢？”在筆者聆聽的一堂展示課中，任課教師對此做了這樣的概括：“讓學生自己發(fā)現(xiàn)圖形放大和縮小的本質與規(guī)律。”

但是，這又是現(xiàn)實中經常可以看到的一個現(xiàn)象，即學生在課堂上似乎只是忙于度量和計算，卻看不到積極的思維活動！

從而，我們也就應當認真地思考究竟是什么導致了上述現(xiàn)象的產生。

事實上，在筆者看來，這正是這方面最為重要的一個問題，即就上述內容的教學而言，我們?yōu)槭裁匆怀觥胺糯笄昂螅掌拈L有什么關系，寬呢？”這樣一個問題？或者說，這一問題究竟是從哪里來的？

具體地說，我們在此首先應肯定這樣一個事實：放大與縮小并非專門的數學概念，而是在日常生活中有著廣泛的應用。正因為此，這就容易在學生頭腦中造成一定的混亂，但這也為教學中很好地滲透數學化的思想提供了良好的契機。

以下就是一些具體的教學建議。

第一，教學中應當清楚地指明日常視角與數學視角的聯(lián)系與區(qū)別。

具體地說，在日常生活中，所謂放大或縮小，主要是指圖形大小的變化，人們在此關注的主要是各種現(xiàn)實的需要，包括美學的思考，等等。

與此相對照，數學中所說的放大或縮小，則是指這樣一種變化：盡管圖形的大小有所變化，但其形狀始終保持不變。也正因為此，這一內容的學習可被看成清楚地表明了數學概念的這樣兩個特征：一是源于現(xiàn)實，高于現(xiàn)實。這也就是指，數學概念的形成意味著由特殊上升到了一般，從而也就具有更大的普遍性。二是相對于現(xiàn)實原型而言，數學概念的生成是一個重新建構的過程，也是一個重新定義的過程。

第二，上述課例從一開始就對學生的探究做出了明確規(guī)定，即要求他們圍繞“放大前后，照片的長有什么關系，寬呢？”進行研究。因此，盡管從形式上看，學生似乎處于十分主動的地位，但所說的探究事實上是一種假探究。因為，盡管學生一直忙于度量與計算，但看不到積極的思維活動！

與此相對照，教師應當注重自身指導性工作的啟發(fā)性，即在做出引導的同時為學生的主動探究留下充分的空間。例如，從后一角度分析，筆者以為，與上述的問題相比，以下的問題引領更為恰當：（1）我們如何具體地判斷兩個圖形的形狀是否一致？或者說，什么可以被看成決定圖形相似的主要因素？（2）就圖形的放大或縮小而言，有哪些成分發(fā)生了變化？又有哪些成分始終保持不變？從更為一般的角度分析，后者直接關系到了這樣一個問題，即我們應當圍繞哪些因素從事平面圖形的研究？或者說，什么可以被看成平面圖形的主要成分？

第三，作為必要的拓展，我們在課堂上或許還可提出這樣一個問題：就圖形的放大與縮小的實際應用而言，什么是最重要的因素？數學中又是如何對此進行表征或刻畫的？

不難想到，上述問題涉及比的概念。特別是，相對于放大與縮小等日常語言而言，后者不僅具有更大的精確性，也清楚地體現(xiàn)了數學研究的這樣一個特征：這是一種定量的研究。

最后，筆者以為，我們或許也可從同一角度更好地理解先學后教、翻轉課堂等教學方法或教學模式的意義：相關的要求，如學習單與微視頻的制作等，顯然要求教師在少而精這一方面做出切實的努力，不同的教學模式也為學生的獨立思考提供了更大的空間和更多的時間，包括更加安靜的學習環(huán)境。

四、幫助學生學會反思

首先應當指出，對于這里所說的反思，我們既不應簡單地理解成一般修養(yǎng)意義上的自我反省，如“吾日三省吾身”等，也不應唯一地理解成嚴格意義上的數學抽象，即皮亞杰所謂的自反抽象。當然，它們之間也有一定的交叉，但這又是這里所說的反思最為基本的一個含義，即我們如何通過進一步的思考發(fā)展已有的認識，特別是，能夠想得更清晰、更深入、更全面、更合理（也正因為此，這就不局限于單純的自我糾錯的范圍）。另外，與主要由于外部的促進或壓力而進行的思考相比，這里所說的反思更加強調主體的自我意識（從而，這顯然也就不應被歸結為所謂的無痕教育），并能真正成為主體的自覺行為——也正因為此，從時間的角度看，這并非僅僅是指事后反省，而是應當成為主體思維活動十分重要的一個組成部分或基本特性。

當然，強調主體的自我意識與自覺性又不應被理解成是一種純粹的先天能力，或是封閉式自我修養(yǎng)的結果。恰恰相反，后天的學習，特別是教師的恰當指導在這方面具有十分重要的作用。當然，后者在很大程度上取決于教師本身對此是否具有足夠的認識，并能在教學中采取恰當的方法與措施很好地加以落實。

以下就是這方面的一個具體經驗。

例4主體性反思：小學數學教學應有的價值追求。（翟長麗，《教育視野》，2015年第12期）

這是作者在這方面的基本認識：“當前，在課改理念的影響下，數學課堂發(fā)生了很大的變化。數學教學中的學習形式越來越多樣化，自主探索、合作交流、實踐操作等學習方式逐漸成為數學課堂的主流。可是，這些看似豐富的外在形式所生成的學習成果是否與學生主體的內在反思、情感體驗相結合，以實現(xiàn)數學知識的意義建構呢？我們看到在很多形式化的教學背后，主體性反思是非常缺失的：學生不善于尋找自己的認知錯誤，不善于或不愿意檢驗自己的思維過程，不善于反思自己的學習策略和情感體驗，自主建構成了教師牽制下的被動參與。”正因為此，“我們必須把學會反思納入到學會學習的實質性范疇，讓學會反思成為新時期學會學習的新視點，成為理想課堂的新追求”。

以下就是這方面的一些具體建議。

第一，創(chuàng)設反思性問題情境，培養(yǎng)反思意識。

首先，教師要創(chuàng)設和諧、民主、寬松的環(huán)境氛圍，幫助學生看到學習中的問題，使反思性學習活動得以和諧開展。其次，教師可以從學生的實際和認知水平出發(fā)，通過創(chuàng)設反思性問題情境，引發(fā)學生對學習過程中的基礎知識、學習方法、解題策略、情感體驗等做自覺的回顧反思，使不同個體在思維碰撞中將思維推向深刻，也讓學生體驗到適時的反思是深化思維的催化劑。

第二，追溯學習過程，提高反思能力。

當某個新知教學告一段落，或探究活動已經完畢，或全課教學即將結束，此時更需靜靜回望反思，追溯探究過程，梳理新的信息，完善認知結構。這里的反思學習，可以是對學習內容的鏈接、串聯(lián)，也可以是對學習方式的評估、分析，還可以是對解題策略的總結、回顧。這種指引回望式的反思學習，能夠讓學生的思維由表層走向深刻，邁向成熟。那么，課堂教學中的哪些環(huán)節(jié)可以進行反思呢？

一是課始反思，鏈接經驗。

根據學生的認知水平、生活經驗及教學實際內容，教師要引領學生主動尋求新舊知識的鏈接點，喚起學生相關的數學經驗，找到學習的最近發(fā)展區(qū)……可以從這樣幾個方面引導學生反思：這節(jié)課與學過的哪些知識和方法有關，這些方法和知識對研究這節(jié)課有何幫助，等等。

二是過程反思，深化思維。

針對不同的數學活動，適時適當地引導學生進行對比反思、聯(lián)想反思、因果反思、逆向反思等反思性學習，不僅可以優(yōu)化算法，還能有效地促進學生反思能力的提高。

三是課尾反思，省思得失。

課尾進行的反思總結，能對一堂課起到畫龍點睛的作用。用短短的幾分鐘，引領學生對所學的知識及運用的思想方法作一次梳理和反思，不僅可以鞏固新知，而且有助于提升數學思想和解題策略，促進情感的積極發(fā)展。

第三，探尋出錯根源，提升思維品質。

我們在批改作業(yè)和試卷時，對學生出現(xiàn)的一些錯誤，常常費盡心機去揣摩學生產生錯誤的根源，絞盡腦汁思量如何改進自己的教學方法，結果收效甚微。后來，我嘗試著讓學生對作業(yè)和考試中的錯誤進行反思，探尋出錯根源，并對癥下藥，收到了事半功倍的效果。

最后，相關教師對這方面工作的重要性做了如下總結：“數學知識不易終身銘記，但數學精神會激勵終生；解題技能很難終身掌握，但反思的方法會受用終身。‘思之則活，思活則深，思深則透，思透則明，思明則新，思新則進’。”又，“反思應當是一項持之以恒、日積月累的系統(tǒng)工程，需要教師遵循循序漸進的原則和一以貫之的耐心扎實踐行，最終讓學生進入學會學習的至高境界”。

當然，除了對課堂教學的各個環(huán)節(jié)進行分析，我們還應采取更為廣泛的視角。例如，就如何幫助學生想得更清晰、更深入、更全面、更合理而言，以下就是兩個特別重要的方面。

第一，清楚的表述，有效的互動。

容易想到，為了清楚地說出自己的想法，主體就必然要對自己頭腦中的已有想法作出梳理與檢查。我們顯然也只有更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，才能對其他人所表達的意見做出適當的評論，乃至實質性的補充或改進。

從上述角度我們也可更好地理解以下做法的適當性。

例5關于知識表述與交流的要求。（課改改到深處是“細節(jié)”，《人民教育》，2012年9期）

文中明確指出：“數學知識表述是個關鍵環(huán)節(jié)，決定了課堂交流的深度。”也正因為此，他們對學生的課前預習提出了如下要求：“假設每一個知識都讓你自己去講演，你會怎么講？”

以下則是他們關于交流、傾聽與互動的具體要求：“如果能讓全班同學在最短時間內理解自己的想法，那么他就是最棒的。如果能夠給他人提出補充，提出一針見血的思路，也是成功的。”

當然，對于不同學段的學生而言，我們又應提出不同的要求或重點。這也正是以下論述所給予我們的主要啟示：

“不同學段的小學生應有不同的重點：低年級的認知活動以啟動兒童的認知機制為主，鼓勵兒童發(fā)表自己的想法，并傾聽別人的意見而與同伴互動學習；中年級的教學活動以發(fā)展數學課堂中的社會性互動為主，使兒童能以澄清的方式對做法是否合理等進行討論和辯證；高年級的教學活動則進一步要求學生在解題活動中提升效率，進行比較科學的解題思考，讓學生回歸文化傳承的解題方式，以及熟悉一些技巧和知識，后者也應成為討論的重點。”（黃敏晃）

第二，很好地把握深度與廣度的辯證關系。

具體地說，只有采取較為廣闊的視角，我們才能使自己的認識更為深入；反之，也只有從更為深入的角度進行分析思考，我們才能發(fā)現(xiàn)事物與現(xiàn)象之間的聯(lián)系，包括它們的共同本質。

就當前而言，我們應特別強調這樣一點：應用聯(lián)系的觀點去指導教學，即著力于揭示不同知識內容之間的聯(lián)系，可使認識進一步深入。

以下就是這方面的兩個實例。

例6小數的意義教學。

從聯(lián)系的觀點進行分析，小數的教學顯然應特別重視這樣一點，即我們應當將小數的認識與自然數的認識聯(lián)系起來：如果說自然數的認識主要涉及各個更大的計數單位（十、百、千等）的引入，那么，小數的認識則體現(xiàn)了相反方向上的發(fā)展，即引入了若干更小的計數單位（0.1、0.01、0.001等）。

進而，就相關的認識活動而言，這又可以被看成它們的共同關鍵，即我們如何幫助學生很好地實現(xiàn)由單一性概念結構向多單位概念結構的必要過渡。特別是，能清楚地建立起這樣三個認識：（1）只有同一數位上的數才能直接進行加減；（2）同一數位上的數的加減與個位上數的加減完全相同；（3）進位與退位的概念。（更為一般地說，就是位值制的概念）（詳可見另著《國際視角下的小學數學教育》，人民教育出版社，2004，第10.1節(jié)）

例7分數的初步認識教學。

就分數與倍數這兩個概念之間的聯(lián)系而言，我們應特別強調這樣一個認識：除了單位1以外，我們也可用其他的數作為比較的基本單位。更為具體地說，就倍數而言，這顯然就是指將兩個數之中的較小的數看作新的計量單位。與此不同，分數的引入則代表了相反方向上的運作，即將較大的數看成了新的計量單位。

進而，我們顯然也可從上述角度理解教材中的這樣一個論述：“一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體。把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數表示。”這也就是指，上述的認識直接關系到關于分數意義的這樣一種解釋：整體與部分之間的關系。

當然，與唯一強調分數意義的上述理解相比，這又可被看成分數教學的真正難點：由于分數具有多種不同的意義，因此，作為分數的初步認識，我們既應幫助學生很好地掌握部分與整體之間的關系這樣一種具體的解釋，也應幫助他們清楚地認識到這樣一點：我們在此事實上是在自然數以外引進了一種新的數，從而也就從又一角度體現(xiàn)了數的不斷擴展這一重要的數學思想。

容易想到，上述實例也可被看成對教師本身的專業(yè)水準提出了更高的要求。更為一般地說，這也就是指，如果教師本身不具有積極思考的習慣與能力，學生就不可能在這方面取得實質性的進步；又，“教學就是要啟動學生主動思考，……教師自身也必須‘主動思考’”[8]。

最后，依據上述分析，相信讀者可以很好地理解這樣一個論述：“真正的數學頭腦是思維的頭腦，是內省的頭腦，這也是學校應當教給學生的東西。”[9]

（待續(xù)）