基于齒面網格節點變形量的齒廓修形計算方法

李劍敏 吳躍成 宣海楓 陳文華 潘曉東 王 威 周新騰

1.浙江理工大學浙江省機電產品可靠性重點實驗室，杭州，3100182.杭州前進齒輪箱集團股份有限公司，杭州，310027

基于齒面網格節點變形量的齒廓修形計算方法

李劍敏1吳躍成1宣海楓1陳文華1潘曉東2王 威1周新騰1

1.浙江理工大學浙江省機電產品可靠性重點實驗室，杭州，3100182.杭州前進齒輪箱集團股份有限公司，杭州，310027

針對重載齒輪修形計算問題，提出了按照齒頂、齒面在載荷作用下的變形量進行修形的方法，以有限元動力學計算結果為依據，提取輪齒相關節點的位移，處理得到其彈性變形，作為齒輪最大修形量進行修形；編制了計算程序，實現了齒輪修形輪廓線的自動計算；某風電齒輪箱三級齒輪經該方法修形后，齒輪最大應力減小約20%，延長了齒輪壽命，提高了齒輪可靠性。

齒輪修形；有限元分析；節點變形；應力

0 引言

齒輪是機械傳動的主要方式，在風電、航空、艦船、車輛等領域都有著極為廣泛的應用。經典齒輪齒面輪廓一般按漸開線設計，但在嚙入/嚙出階段的沖擊增大了輪齒表面應力；嚙合過程中,輪齒受載荷作用而變形，使得齒面曲線發生變化，也造成嚙合應力有所增大。以上原因造成齒輪嚙合應力比預期的值要大，從而使齒輪的壽命縮短，可靠性降低。為延長齒輪壽命，提高其可靠性，通過齒輪修形來減小和均衡齒面接觸應力成為目前主要的技術手段[1-3]。

目前在齒輪設計研究過程中，企業通常按照產品技術、工藝要求設計齒輪，然后根據齒輪的形制、載荷、材料等技術參數，進行輪齒修形[4-6]，但在修形計算中，沒有對輪齒的表面應力、變形狀況進行分析，而修形與輪齒的嚙合應力、變形等直接相關，因此，該修形方式不能得到較好的修形結果。近年來，基于有限元分析技術可進行齒輪嚙合過程的數值仿真[7-11]，文獻[12-14]提出了基于有限元數值仿真結果的齒輪修形計算方法，但在上述修形計算中，齒輪最大修形量的取值及其物理含義尚不夠明確，大量的計算數據不能從有限元結果中自動提取，數據交換比較復雜，需要大量的人工參與，在齒輪設計生產企業進行推廣有一定困難。

本文提出了一種基于有限元結果的齒輪修形量計算方法，能夠在有限元分析基礎上實現修形量、齒面輪廓的自動計算。該修形方法使用ANSYS有限元程序的APDL語言生成齒輪三維模型，分析得到輪齒的應力、應變、位移等數值結果；根據上述結果計算輪齒修形量，并根據修形量移動模型節點坐標形成新的輪齒曲面。對某風電齒輪箱第三級齒輪副進行修形前后對比計算，結果表明齒輪嚙合最大應力減小約20%。

1 齒輪三維建模

由機械原理可知，漸開線在極坐標系和直角坐標系下的方程分別如下[15]：

(1)

(2)

式中，rb為基圓半徑；rk為漸開線在任意點k的向徑；αk為漸開線在k點的壓力角；θ、θk為展角。

齒輪模型除了漸開線建模之外，根據實際加工情況，需建立齒根過渡曲線。值得注意的是，過渡曲線對于齒輪彎曲強度的求解有重要意義。根據普通齒條刀具切割過程，在直角坐標系下，可得到漸開線過渡曲線的方程[16-18]。

2 齒輪修形設計

齒輪運行中的危險應力一般發生在齒面剛進入嚙合時，主要原因是嚙合過程中會因碰撞(沖擊)、擠壓而產生彈塑性變形。根據齒輪嚙合工況設計，當一個齒面剛嚙入時，嚙合處兩齒面相切是最佳嚙合設計工況，也就是漸開線齒輪的基本要求。但當齒輪受力變形時，其齒面輪廓發生了一定的變化，從補償變形角度來看，本文齒輪的最大修形量ep直接取齒頂嚙入變形量。但實際分析中，齒頂變形較難直接得到，因為在齒輪運行過程中，輪齒整體的轉動與受力引起的彈性變形耦合在一起，而修形量僅與其彈性變形相關，因此，需要從有限元分析所提取的位移中剔除輪齒轉動效應，從而得到輪齒的“真實”變形。通常齒輪受載荷引起的輪齒變形相對于齒輪整體轉動引起的位置變化是很小的，因此，在分析中，不考慮轉動與彈性變形之間的相互耦合，僅認為在提取的位移中，既包含了轉動位移，也包含了彈性變形位移。轉動位移視為剛性位移，可以按照剛體轉動理論進行計算，并從總位移中扣除，得到所需要的相對彈性位移。

如圖1所示，設A、C兩點為齒輪同一橫截面上兩個點，其中，A位于齒根處，C為齒面上的點。修形量計算需要得到C點相對于A點的彈性變形。設A、C點的坐標分別為(xA,yA,zA)和(xC,yC,zC)。當齒輪運轉之后，設齒輪轉動了角θ，節點A的坐標變為A4(xA+ΔxA,yA+ΔyA,zA+ΔzA)。A4在oxy面上的投影為A2(xA+ΔxA,yA+ΔyA,0)，其中，θ=∠AoA2=∠CoC1，其計算公式如下：

(3)

式中，a為中心距。

圖1 向量在oxy平面內的位移計算Fig.1 Displacement of the vector on oxy plane

點A、C在oxy面內的投影，僅旋轉θ角之后所得節點為A1和C1。點A1、C1坐標分量為

(4)

(5)

通過平移向量A1C1，即可獲得輪齒上C點在齒面上的相對位移。由于在齒輪嚙合動力學分析中，各節點沿z軸方向的位移都很小(1μm以內)，故C點在z軸方向的理論位移直接取ΔzA，至此即可獲得C點剛性轉動角時的理論位置C3(xA+ΔxA+xC1-xA1,yA+ΔyA+yC1-yA1,0)，如圖2所示。而節點C可通過有限元動力學分析，得到包含彈性變形與剛性轉動的綜合位移，即其坐標值為C4(xC+ΔxC,yC+ΔyC,zC+ΔzC)，節點C4與C3的距離即為點C的彈性變形量。在修形量計算中，通過有限元軟件ANSYS的APDL語言獲得齒面上相應節點的彈性變形，作為齒廓最

圖2 節點C理論未變形旋轉位置Fig.2 Location place on rotation about node C

大修形量ep和齒向最大修形量e1、e2的計算參考數值。

齒廓修形長度主要分為長修形和短修形。一般可根據基節長度和重合的關系獲得，即

λ=pb(εα-1)

(6)

式中，pb為齒輪基節長度；εα為齒輪端面重合度。

齒廓修形的幾何形態如圖3所示，其齒廓沿漸開線發生線方向上的修形量en可按下式確定[13,19]：

(7)

其中，ep可以取齒頂最大相對變形量；Le是最大修形量所在位置的漸開線發生線長度；Ls是修形起始的漸開線發生線的長度；n為齒廓修形函數指數(1

圖3 齒廓修形Fig.3 Tooth profile modification

對于齒向修形，主要考慮修鼓半徑、齒端最大修形量。本文考慮到修鼓量沿漸開線方向的變化情況，將修形量遞減曲線和徑向修形長度兩種因素考慮進來。其中，修形量遞減曲線為齒端最大修形量隨漸開線長度變化而變化的曲線；徑向修形長度為齒向修形時在漸開線方向上的修形長度。

圖4所示為漸開線齒廓發生面內的鼓形修形，齒面上各節點可通過下式確定[13]：

(8)

(9)

(10)

式中，e1、e2為齒端最大修形量；b1、b2為齒廓表面鼓形起始位置到齒端的距離(圖4)；zi為各節點所在z坐標；ei為各節點齒向修形量。

圖4 齒廓發生面內鼓形修形Fig4 Tooth drum modification in plane

本文以上述公式為基礎，編制了齒輪和修形的計算程序，實現了齒輪修形的自動計算，其程序流程如圖5所示。在ANSYS有限元軟件里進行齒輪建模，使用APDL提取齒面各節點編號及其三維坐標；根據齒輪運行工況進行瞬態動力學計算，得到齒面嚙合應力、變形的分布規律；根據有限元的計算結果，對齒面應力較大的嚙合處、齒頂等計算修形量；由計算得到的修形量，轉換坐標，進行節點移位，并形成修形后的輪齒輪廓線；對新的齒輪進行有限元計算，驗證修形前后嚙合應力的變化，完成齒輪修形分析過程。

圖5 齒輪建模分析流程圖Fig.5 Flow diagram of gear modeling

3 齒輪修形分析實例

本文以杭州前進齒輪箱股份有限公司的某型風電齒輪箱第三級齒輪對為研究對象，其主要參數見表1和表2。

表1 齒輪基本參數Tab.1 Basic parameters of the gear

表2 齒輪材料性質參數[20]

將未修形的模型導入ANSYS中進行齒輪瞬態動力學分析，齒輪材料為20CrMnTi，主動輪轉速為275.97 r/min、齒輪輸出力矩為9160 N·m，其裝配模型如圖6所示。

圖6 齒輪模型以及約束定義Fig.6 Gears and constraint

根據計算結果，獲得某齒面在設計載荷工況下的嚙合應力、應變分布情況。當仿真時間為0.1739 s時，齒頂進入嚙合狀態，提取此刻最大應力節點編號，以此節點作為起始節點分別沿軸向和齒面漸開線方向設計路徑，獲得嚙合路徑上的應力、應變分布情況，如圖7和圖8所示。從圖7可知，軸向路徑上最大應力所在節點為z=0處節點，即齒頂外緣的齒端處，其應力值為443.8 MPa；最小應力在z=46 mm處，即齒頂中心位置處，其應力值為351.717 MPa。從圖8可知，在漸開線方向上，應力最大處即齒頂處，其應力值為443.8 MPa；最小應力值為63.45 MPa，由于彎曲應力的作用，沿齒根方向應力逐漸增大。通過分析即可得到齒頂嚙合時危險區域最大應力所在位置及其應力值。

圖7 齒輪軸向嚙合路徑上的應力分布(0.1739 s時)Fig.7 Stress on path of engage axial direction of gears when time is 0.1739 s

圖8 嚙合齒輪沿漸開線方向應力分布(0.1739 s時)Fig.8 Stress on path of evolvent direction of gears when time is 0.1739 s

由式(3)～式(5)所示節點彈性變形量的計算方法，可以直接計算得到隨時間變化的齒頂兩端面危險節點和齒頂中間節點的彈性變形量。當齒頂中心節點處于嚙合狀態時，其變形量λ1=6 μm；齒頂兩端節點處于嚙合狀態時，其變形量λ2≈8μm和λ2≈7.2μm；其中以上位置獲得的節點變形量與各最大修形量ep、e1、e2之間的關系為

(11)則可得：齒廓修形最大修形量ep取6μm，齒向最大修形量e1、e2分別取2μm和1.2μm。通過上述確定的各最大修形量和修形曲線，即可獲得各節點因綜合修形而減少的漸開線發生線長度，并將其轉化為該節點的坐標變化，直接生成新的節點坐標和齒的輪廓線。由于之前已提取了各齒面節點坐標和編號，故在修形中，僅僅通過APDL就可以實現對節點的坐標變化，無需對幾何結構進行重新設計和有限元網格重新劃分，從而大大提高了修形分析的計算效率。由于修形量都很小，故節點移動所造成的單元形狀改變也很小，不會因有限元網格的畸變而導致計算不收斂或計算精度下降。

對于本算例，修改各齒面的節點三維坐標，獲得修形后的齒輪模型。按原有外載和各約束參數重新進行瞬態分析，結果如圖9、圖10所示。

圖9 修形之后齒頂嚙合時軸向應力分布Fig.9 Stress on path of axial direction of gears after profile modification

圖10 修形之后齒頂嚙合時沿漸開線方向的應力分布Fig.10 Stress on path of evolvent direction of gears after profile modification

提取原來齒面在原來路徑上處于嚙合狀態時的應力和應變變化情況，發現沿漸開線方向上的最大應力從443.8MPa減小到363MPa，最小應力從63.455MPa減小到51.031MPa，沿漸開線方向齒根處應力也從158.55MPa減小到129.024MPa，相應節點的應力值對比結果見表3。通過對比，發現齒輪綜合修形能明顯地改善齒面上的應力大小和應力分布情況。

表3 齒頂嚙合時修形后軸向嚙合應力分布比較

疲勞應力S與壽命N的函數關系為

N=CS-M

(12)

考慮到風力發電機通常處于沙漠、海島等，維修成本極高，對可靠性要求也較高。不同損傷概率下的齒輪材料20GrMnTi鋼的參數C、M值見表4，在表4中取損傷概率為1%進行壽命計算。由于齒輪接觸應力是脈沖式的應力分布，按照脈動循環應力計算得到齒輪疲勞壽命，并進行Goodman修正以消除非0均值應力的影響。其中兩個關鍵點(齒頂邊緣、齒頂中間)修形前后疲勞壽命的變化情況見表5。可以看到，經過齒輪的綜合修形，齒面最大應力減小約20%，其危險節點壽命增加了2個數量級，普通齒頂節點壽命增加了4倍左右，從而延長了齒輪壽命，提高了可靠性，達到了齒輪修形的目的。

表4 20GrMnTi鋼P-S-N曲線參數估計

表5 兩節點修形前后疲勞壽命比較

4 結論

(1)本文提出了根據有限元齒輪瞬態動力學結果計算齒面關鍵點的彈性變形的計算方法，可以方便地得到齒輪的最大修形量。

(2)本文建立了基于有限元應力結果的齒輪修形程序，通過有限元模型的建立、動力學分析、關鍵節點的變形提取、修形計算、模型修改等步驟實現了程序化自動計算，從而降低了修形分析的難度，有利于本方法在企業的推廣。

(3)本文以某風電三級齒輪為研究對象，進行了綜合修形，通過結果對比分析可知，齒面綜合修形能顯著降低齒面嚙合過程中的應力，增加齒輪疲勞壽命，提高齒輪可靠性。提出了一種瞬態分析齒輪變形量的計算方法。

[1] CHEN P C, HUANG A C.Adaptive Multiple-surface Sliding Control of Hydraulic Active Suspension Systems Based on the Function Approximation Technique[J].Journal of Vibration and Control,2005,11(5):685-706.

[2] MARZBANRAD J.Optimal Active Control of Vehicle Suspension System Including Time Delay and Preview for Rough Roads[J].Journal of Vibration and Control,2002,8(7)：967-991.

[3] 汪強,周錦進.齒輪修形技術及工藝的發展[J].電加工與模具,2001(5): 21-24. WANG Qiang, ZHOU Jinjing. The Development of the Gear Tooth Modification and Technology[J]. Electromachining & Mould,2001,(5):21-24.

[4] 袁哲,孫志禮,郭瑜.直齒圓柱齒輪齒廓修形曲線優化設計[J].機械傳動,2010,34(5): 1-4. YUAN Zhe, SUN Zhili, GUO Yu. Optimal Design of Profile Modification Curves for Spur Gears[J]. Journal of Mechanical Transmission,2013,34(5):1-4.

[5] 陶燕光.高速齒輪熱變形修形的試驗研究[J].齒輪,1988,12(2):25-28. TAO Yanguang. The Test Research of Heat-deformation Profile Modification about High-speed Gears[J].Gears, 1988,12(2):25-28.

[6] 楊廷力,葉新.漸開線高速齒輪的齒高修形[J].齒輪，1982,6(3):14-24. YANG Tingli, YE Xin. The Tooth High Profile Modification about Evolvent High-speed Gears[J]. Gears,1982,6(3):14-24.

[7] 周志峰.漸開線圓柱直齒輪修形的分析與研究[D].北京:北京交通大學,2014:32-50. ZHOU Zhifeng. Analysis and Research on Modification Involute Spur Gear[D].Beijing:Beijing Jiaotong University,2014:32-50.

[8] 劉旦.2.5 MW風電齒輪箱齒輪修形研究[D].銀川：寧夏大學,2013:10-32. LIU Dan.Research on Tooth Modification of 2.5 MW Wind Power Gearbox[D].Yinchuan：Ningxia University, 2013:10-32.

[9] 王亮.漸開線圓柱齒輪齒廓修形設計及動態接觸分析[D]. 太原:太原理工大學,2012:18-51. WANG Liang. Modification and Design of Tooth Profile and Analysis of Dynamic Contact for a Cylinder Gear of Involute[D]. Taiyuan:Taiyuan University of Technology, 2012:18-51.

[10] WANG Jiande, Howard L. Finite Element Analysis of High Contact Ratio Spur Gears in Mesh[J]. Transactions of the ASME,2005,127(3):11-15.

[11] 顏海燕.直齒輪輪齒變形計算的數值積分法[J].機械傳動，2005,9(2):7-9. YAN Haiyan. Numerical Integral Method for Gear Deformation Calculation[J]. Journal of Mechanical Transmission，2005,9(2):7-9.

[12] 尚振國.風力發電機增速器齒輪修形技術研究[D].大連：大連理工大學,2010. SHANG Zhenguo. Research on Gear Modification of High-power Speed Increasing Gearboxes for Wind Turbines[D]. Dalian:Dalian University of Technology, 2010.

[13] 郝東升.齒輪嚙合數值分析建模方法及其應用研究[D].大連：大連理工大學,2012:85-121. HAO Dongsheng. Research on Numerical Analysis Modeling Method for Gear Meshing and Its Applications[D]. Dalian:Dalian University of Technology,2012:85-121.

[14] 李潤方.齒輪傳動的剛度分析和修形方法[M].重慶:重慶大學出版社,1998. LI Runfang. The Stiffness Analysis and Profile Modification Method about Gear Transmission[M]. Chongqing: Chongqing University Press,1998.

[15] 孫恒.機械原理[M].5版.北京:高等教育出版社,2006:256. SUN Heng. Theory of Machines and Mechanisms[M].5th ed.Beijing:Higer Education Press,2006:256.

[16] 王文奎.機械原理[M].北京:電子工業出版社, 2007. WANG Wenkui. Theory of Machines and Mechanisms[M]. Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2007.

[17] SIGG N. Tooth Profile Modification of High Speed Duty Gear[C]//Proceedings of International Conference on Gearing. New York, 1958:313-316.

[18] 博弈創作室.APDL參數化有限元分析技術及其應用實例 [M].北京:中國水利水電出版社,2004. BOYI Booker. FEM Analysis and Application Example Using APDL[M]. Beijing:China Water & Power Press,2004.

[19] 田雪.大型風電機組齒輪箱齒輪的疲勞壽命分析與預測 [D].北京:華北電力大學,2014:23-30. TIAN Xue. Analysis and Prediction of Gears Fatigue in Large Wind Turbine Gearbox[D]. Beijing:North China Electric Power University, 2014:23-30.

[20] 周志剛. 隨機風作用下風力發電機齒輪傳動系統動力學及動態可靠性研究[D].重慶:重慶大學,2012:85-95. ZHOU Zhigang. Study on Dynamics and Time-dependent Reliability of Gear Transmission System of Wind Turbine under Random Wind Conditions[D]. Chongqing:Chongqing University,2012:85-95.

(編輯 陳 勇)

Calculation Method of Tooth Profile Modification Based on Mesh Node Deformations

LI Jianmin1WU Yuecheng1XUAN Haifeng1CHEN Wenhua1PAN Xiaodong2WANG Wei1ZHOU Xinteng1

1.Key Laboratory of Reliability Technology for Mechanical and Electronic Product, Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou ,310018 2.Hangzhou Advance Gearbox Group Co.,Ltd.,Hangzhou, 310027

In order to deal with the problems of gear modification, a method to calculate the displacements of the gear tooth related nodes was proposed, which was based on the finite element dynamics calculation. The elastic deformations of the teeth were obtained by extracting the displacements of the gear teeth, which were used as the gear’s maximum profile.The calculation program was used to calculate the gear tooth profiles. Taking a wind power gear box for example, the maximum stress of the gear is reduced by about 20%, and the life of the gear is prolonged, and the reliability of the gear box is increased.

gear modification; finite element analysis; node deformation; stress

2015-10-08

國家國際科技合作專項(2015DFA71400)；浙江省自然科學基金資助項目(LY13E050025)

TH132.413;TP319

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.007

李劍敏，男，1962年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授。主要研究方向為機械結構強度與可靠性分析。獲省級科技進步三等獎1項。發表論文30余篇。E-mail:ljmzrz@163.com。吳躍成，男，1968年生。浙江理工大學機械與自動控制學院副教授。宣海楓，男，1989年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。陳文華，男，1963年生。浙江理工大學機械與自動控制學院教授、博士研究生導師。潘曉東，男，1969年生。杭州前進齒輪箱集團股份有限公司教授級高級工程師。王 威，男，1990年生。浙江理工大學機械與自動控制學院博士研究生。周新騰，男，1992年生。浙江理工大學機械與自動控制學院碩士研究生。