基于TOPSIS法的大型床身優選設計

李宇鵬 孫洪勝 許亞鋼

1.燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004 2.燕山大學繼續教育學院，秦皇島，066004

基于TOPSIS法的大型床身優選設計

李宇鵬1孫洪勝2許亞鋼1

1.燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004 2.燕山大學繼續教育學院，秦皇島，066004

以球形蝸桿砂輪磨齒機的床身為研究對象，設計了不同的床身結構作為備選方案，并建立了各方案參數化模型，對其進行了靈敏度分析和多目標優化計算確定其最優尺寸參數，通過對其進行有限元分析獲得了優選決策的初步數據。建立了床身優選評價的TOPSIS數學模型，經計算求解優選出最佳方案。對比分析了優選前后床身的靜態和動態性能，驗證了床身的優選結果的有效性，完成了球形蝸桿砂輪磨齒機床身的優選設計。

TOPSIS法；多目標優化；優選設計；靈敏度分析

0 引言

大型床身的優選涉及多方案的取舍和多個指標的綜合評價，當面對一系列指標和方案時人們往往難以取舍，TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution )法是幫助人們作出多屬性決策的有效方法。TZENG等[1]首次提出TOPSIS理論，TOPSIS法在許多研究領域都得到了廣泛應用，然而在機械領域的應用還不多。近年來一些學者對該方法在機械領域的應用進行了研究。?ZDEMIR等[2]利用TOPSIS法綜合抗拉強度、材料成本等選出了連桿的最佳材料。LAN[3]利用TOPSIS法研究選取切削參數來提高加工工件的表面質量,減少刀具磨損。陳永亮等[4]基于TOPSIS法對某機床橫梁進行評價，得出了多種橫梁方案優劣順序。周奇等[5]利用 TOPSIS法進行Pareto 前沿排序，得到了最優方案。文獻[6]研究設計了球蝸桿砂輪磨齒機，其加工對象為直徑3～5 m的大型硬齒面內齒圈。本文以該新型機床的床身為研究對象，探討大型機床床身的優選設計問題。

1 TOPSIS優選理論

1.1 TOPSIS法基本原理

TOPSIS方法即分別對各個備選方案與理想化的目標方案的接近程度進行評價排序,進而確定出最優方案。首先利用各個備選方案的各個評價參數建立綜合決策矩陣，從決策矩陣中選取最佳值和最差值來構造優選模型的正負理想解。分別計算各個備選方案與評價模型的正理想解與負理想解的距離，最貼近評價模型的正理想解、同時又遠離負理想解的備選方案即最優方案。這種評價方法可以定量地表示出各個備選方案與理想化的最優方案的貼近度的具體值，將復雜模糊的多屬性定性分析問題轉化成簡單明確的單屬性定量比較的問題，從而使得各個設計方案孰優孰劣一目了然。

1.2 TOPSIS優選步驟

(1)建立決策矩陣。根據研究對象選取合適的評價指標，若有m個備選方案n個指標，即可建立決策矩陣A：

(1)

其中，aij為第i個備選方案的第j個評價指標的參數值。

(2)規范化決策矩陣。為了消除由評價指標單位不一致引起的誤差甚至是結果失真，對決策矩陣A按式(2)處理得到規范化決策矩陣B,矩陣B的第i行第j列元素bij為

(2)

(3)加權規范化決策矩陣。根據各評價指標對于評價對象重要程度的大小引入權重矩陣W：

(3)

則可求出評價模型的加權規范化決策矩陣X：

(4)

(4)確定理想解。選取加權決策矩陣中每一列的最佳值構成的n維向量即該評價模型的正理想解X+，相應地選取每一列的最差值構成的n維向量為負理想解X-。即

(5)

正負理想解應分別滿足下式：

(6)

(7)

i=1,2,…,mj=1,2,…,n

式中，bt為效益型指標；ct為成本型指標。

(5)計算距離。各備選方案與正負理想解之間的距離按下式計算：

(8)

(9)

其值越大則該方案越好，即可確定各方案的優劣次序。

2 磨齒機床身備選方案設計

2.1 球形蝸桿砂輪磨齒機

大型硬齒面齒圈球形蝸桿砂輪磨齒機外觀如圖1所示[6]，它主要包括回轉砂輪架、床身、回轉工作臺等部分。該磨齒機主要有五種運動形式：回轉工作臺的轉動、回轉砂輪架的轉動、砂輪的轉動、砂輪架的徑向進給及軸向進給。該磨齒機的主要加工對象是大型硬齒面內齒圈，在加工時磨齒機的回轉砂輪架部件沿著回轉工作臺的相反方向旋轉。

1.工作臺 2.工作臺夾具 3.工作臺驅動裝置 4.徑向進給裝置 5.刀具角度調整裝置 6.砂輪 7.主運動電機滑臺 8.主運動電機 9.皮帶 10.軸向進給裝置 11.砂輪主軸 12.立柱 13.砂輪架 14.砂輪架旋轉驅動裝置圖1 球形蝸桿砂輪磨齒機Fig.1 Gear grinding machine

選取該磨齒機的床身部分為研究對象，該床身主要作用是承載磨齒機的回轉砂輪架部件，使其能夠實現回轉運動，配合回轉工作臺的轉動以及砂輪的轉動和徑向軸向進給運動等，實現內齒圈的磨削。回轉砂輪架部件和床身的外觀如圖2和圖3所示。

圖2 回轉砂輪架及床身外觀Fig.2 Rotary frame and bed

圖3 床身外觀Fig.3 Exterior of bed

2.2 床身備選方案設計

由于受到回轉工作臺以及回轉砂輪架結構的限制，床身的外部輪廓結構形式改變空間較小，故主要針對床身內部筋板結構設計床身的備選方案。筋板的元結構形式對床身的性能有重要影響[7]，因此，必須選擇合適的元結構形式。經查閱機床設計手冊中典型的元結構形式的性能參數[8]，分別選取X型和雙V型元結構設計出的床身結構，如圖4b和圖4c所示。蜂巢結構不僅非常堅固而且節省用料，因此被廣泛應用于實際工程領域，仿照蜂巢結構設計的床身結構如圖4f中方案6所示，將蜂巢的六邊形結構進一步細化為穩定的三角形結構則得到方案7。其他幾種結構形式的備選方案大都是以相似的過程演變得出的，各個備選方案的結構如圖4所示。

(a)方案1 (b)方案2

(c)方案3 (d)方案4

(e)方案5 (f)方案6

(g)方案7 (h)方案8圖4 床身備選方案Fig.4 Alternatives of the bed

3 備選方案參數優化

由于床身備選方案的尺寸參數各不相同，必須先對各方案進行參數優化，各方案都在最佳的尺寸參數下進行比較優選結果才更可信。

3.1 靈敏度分析

靈敏度分析是分析結構性能參數對結構設計參數變化的敏感性，靈敏度值可以反映結構各設計變量對結構性能的影響。床身的優化涉及許多參數，各參數對床身性能的影響往往是不同的。先利用靈敏度分析確定各參數對床身性能影響程度的大小，有目的地選取對床身性能影響較為顯著的參數作為設計變量進行優化，不僅可以滿足優化的需要,而且大大地提高了優化設計的效率。初步選出磨齒機床身結構的T1～T12共12個尺寸參數作為靈敏度分析的參數，各參數對應的床身結構尺寸如圖5所示。

圖5 各尺寸參數Fig.5 Dimension parameters

經計算得到床身質量靈敏度圖和總變形靈敏度圖(圖6和圖7)。由質量靈敏度圖可知，對床身的質量影響較明顯的參數有T1、T2、T6和T11，其中參數T2對床身質量影響最大。由總變形靈敏度圖可知，對床身變形影響較明顯的尺寸參數主要有T3和T9，兩者與床身變形都是負相關關系。

圖6 質量靈敏度圖Fig.6 Mass sensitivity

由于床身的前四階固有頻率已經足以遠離激振源的激振頻率，故選取床身的前四階固有頻率作為動態特性靈敏度分析的目標函數。經過計算得到床身的前四階固有頻率的靈敏度圖，如圖8所示。從磨齒機床身的前四階固有頻率的靈敏度圖中可以看出，對床身固有頻率影響較為明顯的參數主要有T5、T7和T9。

圖7 變形靈敏度圖Fig.7 Deformation sensitivity

(a)一階頻率靈敏度

(b)二階頻率靈敏度

(c)三階頻率靈敏度

(d)四階頻率靈敏度圖8 床身固有頻率靈敏度圖Fig.8 Natural frequency sensitivity

3.2 床身的多目標優化

由質量靈敏度圖可知,對床身質量影響較為明顯的尺寸有T1、T2、T6和T11等;由變形靈敏度圖可知,對床身的靜剛度影響較為明顯的尺寸有T3和T9等;由固有頻率靈敏度圖可知,對床身的固有頻率影響較為明顯的尺寸有T5、T7和T9等。因此，選取T1、T2、T3、T5、T6、T7、T9、和T11等參數作為優化模型的設計變量，則該優化模型的設計變量可以表示為

x=[T1T2T3T5T6T7T9T11]

選取床身的質量m、靜剛度k和固有頻率f作為優化模型的目標函數。其中，質量m越小越好，因此，m是最小化目標函數；靜剛度k和前4階固有頻率f1,f2,f3,f4則是越大越好，因此，k和f是最大化目標函數。則優化模型的目標函數可以分別表示為

V-minF(x)=min[m-k-f1-f2-f3-f4]T

經過優化計算后可以得到床身方案1優化前后的各尺寸參數變化，見表1。

表1 設計變量參數值

其他備選方案的優化計算分析過程與方案1的過程相似，不再贅述。經過與方案1相似的靈敏度分析和優化計算等一系列過程之后，床身各個備選方案優化后的性能參數數據見表2。

表2 優化后床身性能參數

4 備選方案的優選

4.1 確定評價指標參數

對床身進行優選就要先確定評價指標，具體到零部件層面就要求床身具有較好的靜剛度和動剛度并且盡量滿足輕量化的要求。基于此,選取床身的質量、應力、固有頻率、變形量以及敏感方向變形等指標作為評價指標，另外結構工藝性也是一項重要評價指標。根據選取的評價指標各備選方案評價指標參數見表3。

表3 各方案評價指標參數

4.2 模糊性評價指標的量化

由表3可知工藝性評價指標是模糊性參數，由于模糊性參數無法直接參與數學運算，故必須先對模糊性參數進行量化處理后才能進行后續的優選計算。參考AHP法中的相關思想可以對其進行相應的量化處理，各備選方案工藝性評價指標的量化過程如下。

首先根據8個工藝性評價指標的參數值兩兩相互比較，構造出8行8列的判斷矩陣：

判斷矩陣S1的具體取值標準可以參考表4的標度進行。令uij表示判斷矩陣第i行第j列的元素，第i個模糊性評價指標比第j個模糊性評價指標越重要或者越好，則uij的取值就越大，反之則uij的取值越小。

表4 判斷矩陣的標度

經計算可得判斷矩陣S1的最大特征根λmax1=8.2883。為了檢驗所構造的判斷矩陣是否滿足一致性要求，還需要對其進行一致性檢驗，該判斷矩陣的一致性指標IC1為

(10)

式中,h為判斷矩陣的階數。

IC1越小說明判斷矩陣的一致性越好，反之則說明一致性越差。為了判斷IC1是否足夠小，引入平均隨機一致性指標IR來衡量。判斷矩陣的平均隨機一致性指標IR的部分取值見表5[9]。

表5 平均隨機一致性指標IR

由表5可知，8階判斷矩陣相對應的平均隨機一致性指標IR1=1.41，則判斷矩陣S1的隨機一致性比率為

(11)

由于S1的隨機一致性比率RC1<0.1，故該判斷矩陣滿足一致性要求，由該判斷矩陣求出的模糊性參數的相對量化值是合理的。經計算可得λmax1對應的一個特征向量，對其進行歸一化處理即為各備選方案工藝性評價指標的量化向量ω1：

ω1=(0.3313,0.2307,0.0327,0.0477,0.0236,0.0709,

0.1059,0.1572)

4.3 確定權重矩陣

根據各個評價指標對于床身性能影響的大小，由表4可以構造床身評價指標權重系數判斷矩陣：

經計算可得S2的最大特征根λmax2=9.3367。可求得其一致性指標IC2：

(12)

由表5可知，9階判斷矩陣的平均隨機一致性指標IR2=1.46，求得S2的隨機一致性比率RC2=0.0288<0.1，因此，S2滿足一致性要求。經計算可得λmax2對應的一個特征向量，歸一化處理后即為權重系數向量ω2：

ω2=(0.0193,0.0540,0.0371,0.2497,0.1693,0.2497,

0.1158,0.0791,0.0261)

4.4 確定理想解

根據表3的評價指標參數即可建立優選模型的決策矩陣A，按式(2)處理可得規范化決策矩陣B，矩陣B按式(4)處理即可得加權規范化決策矩陣X：

求出TOPSIS優選模型的加權決策矩陣后，理論上可以按照式(5)從加權決策矩陣X中選取各個評價指標的最佳值和最差值來構造優選評價模型的正理想解X+和負理想解X-。然而，以相對理想解作為評價標準時優選模型就可能面臨逆序問題，所謂的逆序問題就是在原有備選方案的評價指標參數不變的情況下，在優選模型中增加新的備選方案或減少備選方案時原有備選方案的優劣次序會發生改變。逆序問題是由于當優選評價模型的備選方案集合元素增加或減少時理想解也隨之發生變化[10]，從而導致沒有發生任何變化的備選方案的優劣次序發生改變。要解決逆序問題關鍵在于選取合適的絕對理想解來替代原來的相對理想解。由優選模型的加權規范化決策矩陣可知，床身備選方案的決策參數全部在[0,1]區間范圍內變化。各個決策參數在極限情況下取得邊界值0和1，因此，不妨用0和1來構造優選模型的絕對理想解。考慮到各個評價指標的效益型和成本型的屬性，可以構造優選模型的絕對理想解如下：

4.5 優選結果分析

至此，優選模型求解所需參數都已得到即可對優選模型進行計算求解，經計算可得各備選方案相對理想解的貼近度，見表6。

表6 各方案的貼近度

備選方案相對理想解的貼近度越大則該方案越好，反之該方案則越差。由表6中的數據可知，各備選方案從優到劣排序依次為：方案7，方案6，方案3，方案1，方案4，方案2，方案8，方案5，即方案7最好而方案5最差。由備選方案的優劣次序可知，方案7優于其他備選方案，因此，選取備選方案7作為最終的優選結果，靜力學分析后可得其受力變形云圖，如圖9所示。

圖9 變形云圖Fig.9 Deformation cloud image

由變形云圖可知，優選結果方案7的最大變形量為1.8725×10-2mm，比之前減小了23.8%。優選后床身的前四階模態云圖如圖10所示。

(a)一階模態云圖

(b)二階模態云圖

(c)三階模態云圖

(d)四階模態云圖圖10 前四階模態云圖Fig.10 Vibration cloud images

經過優選，床身的性能有了明顯的提高，磨齒機的最高工作頻率約90 Hz，優選設計后的床身固有頻率遠離了機床的激振頻率，床身的動態特性得到了進一步提高，優選后的床身的各項性能參數的變化見表7。

表7 優選前后床身性能參數

5 結語

本文以球形蝸桿砂輪磨齒機床身為研究對象，設計了不同的床身結構作為優選的備選方案。建立了各個備選方案的參數化模型，通過靈敏度分析確定了對床身性能影響較大的主要尺寸參數并對各方案進行了多目標參數優化。利用TOPSIS法對各備選方案進行優劣評價，探討了TOPSIS法在實際應用中面臨的模糊性參數的量化等問題并找到了相應的解決辦法，經過計算得出了優選結果，經過優選設計的磨齒機床身性能相比之前有了明顯的提高。

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(編輯 陳 勇)

Preference Design of Large Machine Beds Based on TOPSIS Method

LI Yupeng1SUN Hongsheng2XU Yagang1

1.College of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei,066004 2.Continuing Education School, Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004

A spherical worm grinding wheel machine bed wasas research object and several bed structures were designed.The parametric models of each alternative were built and their sensitivity analyses were conducted respectively. The optimal dimensions of each alternative were obtained through multi-objective optimization. The preliminary data was obtained for decision making through finite element analysis of each optimized model. TOPSIS mathematical model of the bed was established and the best alternative was determined according to calculation results. The validity of the preference results was verified compared with analysis results of the original bed. The preference task for the bed of spherical worm wheel grinding machine was completed.

technique for order preference by similarity to an ideal solution(TOPSIS) method; multi-objective optimization; preference design; sensitivity analysis

2016-03-11

TH122DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.005

李宇鵬，男，1958年生。燕山大學機械工程學院教授。主要研究方向為數控機床的性能優化與可靠性等。發表論文50余篇。E-mail：ysulyp@163.com。孫洪勝，男，1971年生。燕山大學繼續教育學院教授。許亞鋼，男，1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。