巧設(shè)實(shí)例提高經(jīng)管類(lèi)學(xué)生學(xué)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的教學(xué)效果

張丹丹

摘 要：無(wú)窮級(jí)數(shù)在科學(xué)研究和生產(chǎn)生活中都有非常廣泛的應(yīng)用，但是無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得比較抽象。特別對(duì)經(jīng)管類(lèi)這種文科學(xué)生來(lái)說(shuō)，想讓他們真正理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，必須在課堂教學(xué)中以實(shí)際生活中生動(dòng)有趣的實(shí)例引出無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生建立起無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，并對(duì)此概念有了較深入的理解。從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收到較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：無(wú)窮級(jí)數(shù) 調(diào)和級(jí)數(shù) 教學(xué)效果

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）09（b）-0127-02

高等數(shù)學(xué)相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言，研究的對(duì)象和方法顯然都要復(fù)雜得多。很多定義、定理、證明、都具有高度的抽象性和非常強(qiáng)的邏輯性。對(duì)剛剛步入高等學(xué)府的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，意味著思維方式的轉(zhuǎn)變，很多學(xué)生不適應(yīng)，于是很容易對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科產(chǎn)生恐懼心理，從而失去了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣。而且對(duì)于較接近實(shí)際的問(wèn)題，學(xué)生更是覺(jué)得無(wú)從著手。興趣是最好的老師， 成功的教學(xué)就是不斷激發(fā)興趣這一非智力因素，它是消除學(xué)生厭學(xué)、恐懼心理，提高高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的重要途徑。

無(wú)窮級(jí)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的章節(jié)，在科學(xué)研究和生產(chǎn)生活中都有非常廣泛的應(yīng)用，但是無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得比較抽象。因此，在課堂教學(xué)中可以用實(shí)際生活中生動(dòng)有趣的實(shí)例引出無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生建立起無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，并對(duì)此概念有了較深入的理解，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，收到較好的教學(xué)效果。將文科學(xué)生所擅長(zhǎng)的形象思維與數(shù)學(xué)概念、定理中的形象因素結(jié)合是提高教學(xué)效果的關(guān)鍵。

1 實(shí)例引入，巧設(shè)疑問(wèn)

芝諾提出了歷史上非常著名的幾個(gè)悖論——兩分法悖論、阿基里斯悖論、飛矢不動(dòng)悖論和游行隊(duì)伍悖論，其中阿基里斯悖論在無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)時(shí)是多數(shù)教師普遍引用的教學(xué)實(shí)例[1-2]。但這個(gè)例子對(duì)于經(jīng)管類(lèi)這種文科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)不但趣味性不強(qiáng)，并且難懂。不如舉一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)實(shí)例作為引例更能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

引例：每當(dāng)經(jīng)濟(jì)陷入低潮，國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展遇到嚴(yán)重困難時(shí)，國(guó)家總會(huì)采取一些積極的經(jīng)濟(jì)貨幣政策來(lái)刺激經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，通常國(guó)家采用最多的是兩項(xiàng)政策：銀行降息和擴(kuò)大政府固定資產(chǎn)投資。那么這背后深層次的原因是什么？

拋出實(shí)例：如襄陽(yáng)市政府在經(jīng)濟(jì)上投入1億元人民幣以刺激消費(fèi)，據(jù)以往消費(fèi)習(xí)慣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，襄陽(yáng)市的每個(gè)經(jīng)營(yíng)者和每個(gè)居民都將自己收入的20%存進(jìn)銀行，消費(fèi)掉剩下的80%。那么這筆投資會(huì)帶動(dòng)多少?lài)?guó)民生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)？

分析：從最開(kāi)始的1億元，初次消費(fèi)了0.8億，而產(chǎn)生的0.8億消費(fèi)又成為別的企業(yè)及個(gè)人的收入，他們又消費(fèi)掉其中的80%，即消費(fèi)了0.8*0.8億，如果按照這種情況消費(fèi)下去，那么由最初的1億元投資引起的消費(fèi)金額就構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列：

這是個(gè)無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加求和的問(wèn)題，那么這無(wú)窮多項(xiàng)相加求和是否有意義？若有意義，又該怎樣判斷及求和呢？

2 建立概念

初等數(shù)學(xué)中，我們只會(huì)計(jì)算有限個(gè)數(shù)的和，學(xué)生不但不會(huì)計(jì)算無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)的和，甚至都不知道什么是無(wú)窮多個(gè)數(shù)的和。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)的和是一個(gè)全新的、未知的概念。要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)新概念其實(shí)并不是孤立的，它與我們已知的有限個(gè)數(shù)的和緊密聯(lián)系著。最終，我們發(fā)現(xiàn)由有限個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化到無(wú)窮多個(gè)數(shù)的和可以借助上冊(cè)內(nèi)容中的極限這個(gè)工具來(lái)實(shí)現(xiàn)。由此引出無(wú)窮級(jí)數(shù)的定義。

定義：給定一個(gè)數(shù)列則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)。[3]

稱(chēng)作無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和。則為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列。 若，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。若不存在，稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。

由剛才的定義可知，只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，無(wú)窮多項(xiàng)的和才有意義，而且這無(wú)窮多項(xiàng)的和就是無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列的極限。

3 回顧講解實(shí)例

4 設(shè)置懸念，引出新內(nèi)容

通過(guò)定義，容易得出結(jié)論：若一個(gè)級(jí)數(shù)

收斂，其一般項(xiàng)必滿(mǎn)足條件。反過(guò)來(lái)，若，那級(jí)數(shù)是否一定收斂？下面的例子可以告訴我們答案。

例：判斷調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性。

很多同學(xué)直覺(jué)上覺(jué)得這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的，但事實(shí)上，這個(gè)級(jí)數(shù)很難用級(jí)數(shù)收斂的定義來(lái)判斷它的斂散性，從調(diào)和級(jí)數(shù)的形式來(lái)看，我們求不出它的部分和。那么除了用級(jí)數(shù)的定義來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性，還有什么其他判斷級(jí)數(shù)收斂性的方法？這樣就適時(shí)地拋出了這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生期待下節(jié)課學(xué)習(xí)其他判斷級(jí)數(shù)收斂性的方法。

顯然產(chǎn)生矛盾，因此調(diào)和級(jí)數(shù)并不像直觀感覺(jué)的那樣，實(shí)際上調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，它是目前已知發(fā)散最慢的無(wú)窮級(jí)數(shù)，它的前1億項(xiàng)的和約為21，前1萬(wàn)億項(xiàng)的和約為28。

5 結(jié)語(yǔ)

也就是說(shuō)只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件。那么請(qǐng)同學(xué)們思考級(jí)數(shù)收斂與否，是否與級(jí)數(shù)一般項(xiàng)趨近于0的速度快慢有關(guān)呢？從而為下節(jié)內(nèi)容中講正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法做好鋪墊。

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中不斷地設(shè)置問(wèn)題，用與學(xué)生專(zhuān)業(yè)背景相關(guān)的一些實(shí)際問(wèn)題及與直覺(jué)不同的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生去思考，通過(guò)分析討論解決問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，這樣教學(xué)效果就會(huì)事半功倍。

參考文獻(xiàn)

[1] 孫寶法.加強(qiáng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)教學(xué)的趣味性初探[J].合肥教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999（2）：28-29.

[2] 鮑倚敏.重視數(shù)學(xué)新概念的引入方法[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（3）：48-49.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2010.