考慮變粘性系數(shù)的MHD駐點流解析解

李明軍, 李勝男, 李桂波

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

計算數(shù)學

考慮變粘性系數(shù)的MHD駐點流解析解

李明軍, 李勝男, 李桂波

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

研究變粘性系數(shù)的2維MHD駐點流問題。平板被放置在大小為H0的磁場中,對Navier-Stokes方程組進行計算,其中粘性系數(shù)是溫度的函數(shù)。通過物理分析得到變粘性系數(shù)的MHD駐點流動的Navier-Stokes控制方程組。通過相似變換,將控制方程組轉(zhuǎn)化為常微分方程組。數(shù)值分析了磁場效應和溫度變化對壁面摩擦系數(shù)、壁面?zhèn)鳠峒傲鲌鎏卣鞯鹊挠绊?并得到了速度、磁場及溫度隨各參數(shù)的變化趨勢。

駐點流;MHD流; 變粘性系數(shù); 相似解; 打靶法

0 引 言

2維駐點流問題是流體力學中的一個經(jīng)典問題,并且有廣泛的應用領域。例如,均勻磁場下導電流體的駐點流問題在現(xiàn)代冶金和金屬加工過程中起著非常重要的作用,因為其最終產(chǎn)品的質(zhì)量往往取決于金屬冷卻速率,而這個速率又與壁面邊界層結(jié)構有關。

Hiemenz[1]最先研究了經(jīng)典2維平板駐點流問題,并且得到了N-S控制方程的精確解。從此,許多研究者對這個問題進行了不同方面的研究,例如3維駐點流問題、非定常駐點流問題、斜駐點流問題及帶有熱邊界層的駐點流問題。Mahapatra等[2]對平板2維定常不可壓粘性導電流體的MHD邊界層方程給出了精確的相似解,研究了常溫表面上的流體溫度分布情況。Grosan[3]研究了固定平板MHD斜入射駐點流問題。在他的研究中,考慮了大小為常數(shù)的橫向磁場。Lok等[4]研究了拉伸/收縮平板上粘性導電流體的MHD斜入射駐點流問題,其中外加磁場是均勻的,方向平行于斜入射駐點流的分界流線。Mahapatra等[5]考慮了收縮平板上斜入射駐點流的傳熱和輻射問題,研究發(fā)現(xiàn)流體內(nèi)某一點的溫度隨著有效普朗特數(shù)的增加而減小。Chiam[6]表示出了拉伸表面駐點流邊界層傳熱問題的相似解,并討論了其對流場的影響,其中熱傳導系數(shù)隨著溫度線性變化。Ali等[7]擴展了此問題,考慮了感應磁場對流場的影響,研究了正交于拉伸平板的粘性不可壓駐點流問題和常熱傳導系數(shù)的傳熱問題。Singh等[8]研究了固定橫向磁場下MHD斜入射駐點流問題。

本文研究變粘性系數(shù)2維粘性不可壓駐點流問題,其中粘性系數(shù)是溫度的函數(shù),同時考慮感應磁場對整個流場的影響。

1 基本方程組

本文考慮的2維定常粘性不可壓流體在正交于固定平板y=0平面上流動,如圖1所示。導電流體放置在外加磁場H中,同時考慮感應磁場的影響。根據(jù)文獻[9],此問題的控制方程可以寫為

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 物理模型及坐標系Fig.1 Physical model and coordinate system

其中:x和y是沿平板表面及與其垂直平面建立的笛卡爾坐標;u和v是沿x和y軸的速度分量;H1和H2是沿x和y軸的磁場強度分量;ρ∞是流體密度;μ0是磁導率;σ是電導率;Cp是常壓下的比熱;ue(x)和He(x)是邊界層邊界的x軸方向速度分量和磁場強度分量;k∞是熱傳導系數(shù)。

本文中,粘性系數(shù)為T的函數(shù),定義為

或

邊界條件如下:

(5)

(6)

其中:a是大于零的常數(shù);H0是外流場均勻磁場的大小。

引入下面的相似變換:

非線性偏微分方程組(1)～方程(4)可轉(zhuǎn)化為如下常微分方程組:

(7)

(8)

邊界條件(5)～條件(6)轉(zhuǎn)化為

(9)

(10)

(11)

其中參數(shù)λ,Pr,β和θr分別表示磁普朗特數(shù)的倒數(shù),普朗特數(shù),磁參數(shù)和流體粘性參數(shù)。其定義為

當流體粘性系數(shù)為常數(shù)時,方程(7)退化為

該結(jié)果與Ali等[7]方程的結(jié)果一致。

本文關注的量為表面摩擦系數(shù)和努賽爾特數(shù),分別定義為

2 結(jié)果與討論

采用龍格-庫塔方法和打靶法對方程(7)～方程(8)及其邊界條件(9)～條件(11)進行數(shù)值求解。為了檢驗所使用數(shù)值求解方法的正確性和準確性,計算了粘性系數(shù)μ(T)取常數(shù)且不考慮磁場,即β=0時f″(0)的值。數(shù)值結(jié)果與Howarth[11]和Li等[12]的結(jié)果進行了對比,如表1所示?？梢园l(fā)現(xiàn),計算結(jié)果與之前發(fā)表過的結(jié)果吻合良好,說明數(shù)值方法是準確的。

表1 f″(0)的數(shù)值(μ(T)為常數(shù),β=0)

首先計算了表面摩擦系數(shù)f″(0)隨磁系數(shù)β和流體粘性參數(shù)θr的變化。如圖2所示,表面摩擦系數(shù)隨著β的增加而減小,也隨著-θr的增加而減小。圖3給出了當?shù)嘏悹柼財?shù)-θ′(0)隨Pr數(shù)變化情況,可以發(fā)現(xiàn),-θ′(0)隨Pr數(shù)的增加而增加。

圖4～圖6表示,當Pr=0.72,θr=-1時磁系數(shù)β對水平速度剖面f′(η)、感應磁場剖面g′(η)、溫度剖面θ(η)的影響?？梢钥闯?速度和感應磁場隨著β的增加而減小,而溫度隨著β的增加而增加。

圖7～圖9表示,當Pr=0.72,β=0.1時粘性系數(shù)θr對水平速度剖面f′(η)、感應磁場剖面g′(η)和溫度剖面θ(η)的影響。可以看出,速度和感應磁場隨著-θr增加而減小,而溫度隨著-θr增加而增加。

圖10～圖12表示,當θr=-1,β=0.1時普朗特數(shù)Pr對水平速度剖面f′(η)、感應磁場剖面g′(η)和溫度剖面θ(η)的影響,可以看出,速度、感應磁場和溫度都隨著Pr的增加而減小。

圖2 Pr=0.72時,不同θr值對應的f″(0)隨β的變化

圖3 -θ′(0)隨Pr的變化

圖4 Pr=0.72,θr=-1時,不同β值對應的f′(η)剖面

圖5 Pr=0.72,θr=-1時,不同β值對應的g′(η)剖面

圖6 Pr=0.72,θr=-1時,不同β值對應的θ(η)剖面

圖7 Pr=0.72,β=0.1時,不同θr值對應的f′(η)剖面

圖8 Pr=0.72,β=0.1時,不同θr值對應的g′(η)剖面

圖9 Pr=0.72,β=0.1時,不同θr值對應的θ(η)剖面

圖10 θr=-1,β=0.1時,不同Pr值對應的f′(η)剖面

圖11 θr=-1,β=0.1時,不同Pr值對應的g′(η)剖面

圖12 θr=-1,β=0.1時,不同Pr值對應的θ(η)剖面Fig.12 θ(η) profiles for different values of Pr when θr=-1,β=0.1

從圖12也可以發(fā)現(xiàn)熱邊界層厚度隨著Pr的增加而減少。這個結(jié)果是所期望得到的,因為傳熱能力會隨著Pr的增加而減小,即熱邊界層厚度將會減少。

3 結(jié) 論

本文研究了考慮感應磁場的2維粘性導電流體駐點流問題,詳細分析了變粘性系數(shù)下流場隨磁系數(shù)、粘性參數(shù)及普朗特數(shù)的變化情況。發(fā)現(xiàn)速度和感應磁場隨著β和-θr的增加而減小,而溫度隨著β和-θr的增加而增加;速度、感應磁場和溫度都隨著Pr的增加而減小。

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AnalyticalsolutionsofvariablethermalconductivityonMHDstagnation-ointflow

LI Mingjun, LI Shengnan, LI Guibo

(CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShenyangNormalUniversity,Shenyang110034,China)

Thetwo-dimensionalMHDstagnation-pointflowwithvariableviscosityisstudied.TheplateisplacedinthesizeoftherelativelystaticmagneticfieldofH0,theNavier-Stokesequationsarecalculated,whereviscosityisconsideredasafunctionoftemperature.ThegoverningNavier-StokesequationsfortheMHDstagnation-pointflowwithvariableviscositywereobtainedthroughphysicalanalysis.Byusingsimilaritytransformation,thegoverningequationsarefirstlytransformedintotheordinarydifferentialequations(ODEs).Numericallytheeffectsofmagneticstrengthandtemperaturechangestotheskinfrictioncoefficient,heattransfernearthewallandflowfieldcharacteristicsareanalyzed,andthetrendofvelocity,magneticfieldandtemperaturefieldwithdifferentparametersarealsoobtained.

stagnation-pointflow;MHDflow;variableviscosity;similaritytransformation;shootingmethod

2016-08-05。

國家自然科學基金資助項目(11171281); 遼寧省科技廳自然科學基金資助項目(201502065, 201602673)。

李明軍(1968-),男,湖南益陽人,沈陽師范大學教授,博士,湘潭大學博士研究生導師。

1673-5862(2017)01-0068-05

O

A

10.3969/j.issn.1673-5862.2017.01.012