求生活中的概率

/

求生活中的概率

文/陳清華

責(zé)任編輯：王二喜

生活中的概率問題是中考命題的重點.下面以2016年中考題為例，談?wù)勥@類問題的解法.

一、用公式P（A）=求概率

例1（2016年廣州卷）某個密碼鎖的密碼由三個數(shù)字組成，每個數(shù)字都是0～9這十個數(shù)字中的一個，只有當(dāng)三個數(shù)字與所設(shè)定的密碼及順序完全相同時，才能將鎖打開．如果僅忘記了設(shè)的密碼最后那個數(shù)字，那么一次就能打開該密碼鎖的概率是（）

溫馨小提示：如果一個事件有n種可能，而這些事件發(fā)生的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=.公式法是求概率最常用的一種方法.

解析：∵共有10個數(shù)字，一次能打開密碼鎖的只有1種情況，

二、用頻率估計概率

例2（2016年北京卷）林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，下表是這種幼樹在移植過程中的一組數(shù)據(jù)：

移植的棵數(shù)n成活的棵數(shù)m成活的頻率m n 1000 865 0.865 1500 1356 0.904 2500 2220 0.888 4000 3500 0.875 8000 7056 0.882 15 000 13 170 0.878 20 000 17 580 0.879 30 000 26 430 0.881

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率為．

解析：對于不同批次的幼樹移植成活率往往誤差會比較大，為了減少誤差，經(jīng)常采用多批次求平均數(shù)的方法確定概率．

∴這種幼樹移植成活率的概率約為0.882．

溫馨小提示：大量反復(fù)試驗下，某個事件的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近（像本題，當(dāng)這個常數(shù)難以確定時，可以用平均數(shù)代替），這個常數(shù)就是該事件的概率.值得注意的是，這個常數(shù)附近的數(shù)都可以作為該事件的概率.如本題的概率寫成0.880，0.881，0.883都是可以的.

三、用“P（A）＝”求與面積有關(guān)的概率

例3（2016年葫蘆島卷）如圖1，一只螞蟻在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)爬行，點O是對角線的交點，蟻MON=90°，OM，ON分別交線段AB，BC于M，N兩點，則螞蟻停留在陰影區(qū)域的概率為．

解析：求出陰影部分的面積與正方形面積的比值，這個比值就是所要求的概率.可以證明

圖1

溫馨小提示：與幾何有關(guān)的概率問題，是近年中考的常見題型.一般用圖形的面積比求幾何型概率.

四、畫樹狀圖求概率

例4（2016年包頭卷）一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中紅球有1個，若從中隨機(jī)摸出一個球，這個球是白球的概率為．

（1）求袋子中白球的個數(shù)；（請通過列式或列方程解答）

（2）隨機(jī)摸出一個球后，放回并攪勻，再隨機(jī)摸出一個球，求兩次都摸到相同顏色的小球的概率．（請結(jié)合樹狀圖或列表解答）

解：（1）設(shè)袋子中白球有x個，

經(jīng)檢驗，x=2是原分式方程的解，

∴袋子中白球有2個.

（2）樹狀圖如圖2所示.

∵共有9種等可能的結(jié)果，兩次都摸到相同顏色的有5種情況，

圖2

溫馨小提示：一般地，涉及兩步的隨機(jī)事件，可用列表法或畫樹狀圖法求概率，涉及三步或三步以上的隨機(jī)事件，通常用畫樹狀圖法求概率.在利用列表法、畫樹狀圖法求概率時，各種情況出現(xiàn)的可能性必須相等，否則會出錯．另外，要注意是放回實驗還是不放回實驗，它們是完全不同的事件.

五、用列表法求概率

例5（2016年營口卷）圖3是一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被平均分成4等份，4個扇形分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，每次指針落在每一扇形的機(jī)會均等（若指針恰好落在分界線上則重轉(zhuǎn)）．

（1）標(biāo)有“1”的扇形至少繞圓心旋轉(zhuǎn)度能與標(biāo)有“4”的扇形的起始位置重合；

（2）現(xiàn)有一本故事書，姐妹倆商定通過轉(zhuǎn)盤游戲定輸贏（贏的一方先看）．游戲規(guī)則是：姐妹倆各轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，兩次轉(zhuǎn)動后，若指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為偶數(shù)，則姐姐贏；若指針?biāo)干刃紊系臄?shù)字之積為奇數(shù)，則妹妹贏．這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請利用樹狀圖或列表法說明理由．

解：（1）轉(zhuǎn)盤被平均分成4等份，每份的圓心角是90°，

∴標(biāo)有“1”的扇形至少繞圓心旋轉(zhuǎn)90度才能與標(biāo)有“4”的扇形的起始位置重合.填90.

（2）根據(jù)題意列表如下：

圖3

1 2 3 4 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）

由表可知共有16種，其中數(shù)字之積為偶數(shù)的有12種，奇數(shù)的有4種，則數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是，數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是

因為兩者獲勝的概率不同，因此游戲不公平.

溫馨小提示：判斷游戲是否公平，需計算出各方獲勝的概率.若獲勝的概率相等，則游戲公平.否則，誰獲勝的概率大，對誰就有利.修改規(guī)則時，只需設(shè)計各方獲勝的概率相同.