基于接觸面特征的螺栓聯(lián)接剛度研究

章伊華，龐奎，林丹益，麥云飛，孫曉萌，楊國玉

(1.寧波大紅鷹學院 汽車CAE應用技術研究所, 浙江 寧波 315175; 2.力帆實業(yè)(集團)股份有限公司 摩托車研究院，重慶 400700;3.上海理工大學 機械工程學院，上海 200093; 4.EASi Engineering, Detroit 48201, MI, US)

基于接觸面特征的螺栓聯(lián)接剛度研究

章伊華1，龐奎2，林丹益1，麥云飛3，孫曉萌3，楊國玉4

(1.寧波大紅鷹學院 汽車CAE應用技術研究所, 浙江 寧波 315175; 2.力帆實業(yè)(集團)股份有限公司 摩托車研究院，重慶 400700;3.上海理工大學 機械工程學院，上海 200093; 4.EASi Engineering, Detroit 48201, MI, US)

螺栓聯(lián)接由于其可靠和有效性在工業(yè)界得到廣泛應用，螺栓聯(lián)接設計中的聯(lián)接剛度設計在螺栓聯(lián)接結構中具有十分重要的作用。提出一種最佳預緊力下螺栓聯(lián)接結構的有限元分析方法，在綜合考慮螺栓螺母與被聯(lián)接件及被聯(lián)接件之間的受力、接觸、摩擦等非線性因素的基礎上，采用不同結構的系列參數(shù)模型運算結果進行聯(lián)接剛度分析，研究了螺栓預緊力、被聯(lián)接板厚度、螺栓公稱直徑、被聯(lián)接板外徑及螺母系數(shù)等因素對聯(lián)接剛度的影響。通過接觸面壓應力分布實驗驗證和連續(xù)性假設，對聯(lián)接結構剛度函數(shù)式進行無量綱化推導，實現(xiàn)了系列參數(shù)模型無量綱化剛度數(shù)據(jù)的有效擬合，在有限元分析結果基礎上獲得了計算螺栓聯(lián)接結構聯(lián)接剛度的計算公式。通過與有限元分析結果及文獻[4-6]結果比較，驗證了該剛度計算公式的有效性和可靠性。

固體力學；參數(shù)模型; 接觸面積; 接觸面應力分布; 聯(lián)接剛度; 無量綱化

0 引言

螺栓聯(lián)接由于使用方便和聯(lián)接可靠，是當今工業(yè)中重要的和最常見的一種機械聯(lián)接方式。螺栓結構通過施加預緊力使多個接觸面之間產(chǎn)生緊密結合的壓緊應力，這種由壓緊應力產(chǎn)生的聯(lián)接剛度會直接影響結構的力學屬性和行為，這是螺栓聯(lián)接結構區(qū)別于其它結構的重要特點。如何準確計算螺栓聯(lián)接結構剛度，如螺栓螺母與被聯(lián)接件聯(lián)接剛度及被聯(lián)接件之間的聯(lián)接剛度，對于預測在工作載荷作用下機械整體結構的可靠性、穩(wěn)定性及振動響應特性等都具有重要意義，這也是國內(nèi)外學者研究的重點。Shigley等[1]把壓應力在被聯(lián)接件中的分布區(qū)域等效為圓錐體，認為在垂直于軸截面方向上均勻分布，如圖1所示，由此推導出關于錐角的聯(lián)接剛度計算公式為

(1)

式中：θ為壓應力錐角，假設錐角為30°或45°；E為被聯(lián)接件的彈性模量；β為螺母系數(shù)；L為被聯(lián)接件聯(lián)接長度；d為螺栓公稱直徑；α為孔隙系數(shù)。該方法沒有考慮被聯(lián)接件的寬度、相互間接觸、摩擦等因素對聯(lián)接剛度的影響，且假設應力在垂直于軸截面上均勻分布與實際不符。

圖1 螺栓聯(lián)接壓力錐角模型Fig.1 Bolt joint pressure angle model

Wileman等[2]及Musto等[3]通過理論方法與有限元分析相結合，用擬合有限元結果的方式推導出被聯(lián)接剛度的計算公式：

km=EdAexp (B(d/L)),

(2)

式中：A、B常量值取決于材料屬性，對于鋼材(E=206.8 GPa，泊松比μ=0.291)，常量A=0.787 15，B=0.628 73. (2)式忽略了螺母大小對剛度的影響，且當d/L比值較大時這個曲線擬合將失效，一般適用范0.1

(3)

式中：da,gr為接觸面積直徑。

同時還推導出θ錐角的計算公式，da,gr和tanθ可以表示為

(4)

da,gr=βd+Ltanθ.

(5)

本文中接觸面直徑用dc表達，但文獻[6]中仍沿用了壓應力值在接觸面直徑dc范圍內(nèi)均勻分布假設，因此仍產(chǎn)生較大偏差。

Sethuraman等[7]在有限元模型中把螺栓頭或螺母支承面簡化為剛性結合面和柔性結合面，并分別施加均勻軸向位移和壓力，再通過修正因子的方式模擬實際螺栓聯(lián)接結合狀況，沒有正確反映螺栓聯(lián)接結構的真實狀態(tài)。要想獲得準確的螺栓聯(lián)接剛度，首先要明確接觸面上的壓應力分布規(guī)律和力學屬性。Marshall等[8]運用現(xiàn)代聚焦超聲波測量技術通過對螺栓壓緊接觸面的超聲掃描，得到了比較清晰的壓應力分布，章伊華等[9]用有限元方法通過多元混合數(shù)值仿真模型，進一步論證了不同螺栓預緊力作用下接觸面壓應力分布規(guī)律及對接觸面聯(lián)接結構的影響，經(jīng)與實驗對比驗證獲得良好的一致性[8-9]。

本文基于螺栓聯(lián)接結構最佳預緊力設計[10]的三維數(shù)值仿真模型，遵從螺栓預緊力作用下接觸面壓應力分布規(guī)律的實際特征[9]，通過選用不同參數(shù)的變化計算出系列模型下的聯(lián)接結構剛度，并以無量綱化方法給出不同系列變化的有限元分析(FEA)參數(shù)模型剛度值曲線，推導出其擬合曲線公式，通過對比文獻[4-6]的剛度曲線驗證了模型和擬合曲線的有效性。

1 有限元模型

考察螺栓聯(lián)接結構的接觸受力和聯(lián)接剛度關系，建立螺栓聯(lián)接結構預緊力設計的有限元模型，如圖2所示。在結合面用接觸單元組成接觸對，并用罰函數(shù)法[11]求解其接觸關系，再以彈簧單元和其他有限單元建立混合單元模型。螺栓、螺母材料參數(shù)分別取：彈性模量E=2.07×105MPa，泊松比μ=0.3，屈服極限σs=924 MPa，強度極限σb=1 130 MPa. 被聯(lián)接件材料參數(shù)取：彈性模量E=2.07×105MPa，泊松比μ=0.3，屈服極限σs=355 MPa，強度極限σb=600 MPa. 對每組模型先后施加10 kN、20 kN預緊力，在板與板以及螺栓螺母與板之間的各個接觸面間建立摩擦接觸。考慮螺栓聯(lián)接結構的材料屬性和表面粗糙度取摩擦系數(shù)為0.3.

根據(jù)需要分別確定不同螺栓公稱直徑d、螺母系數(shù)β、孔隙系數(shù)α、被聯(lián)接件厚度L和被連接件處部直徑da等的系列參數(shù)值，并計算和輸出結果。

2 大寬度聯(lián)接的剛度計算

2.1 參數(shù)的無量綱化

如圖1所示，按傳統(tǒng)計算方法應力錐角完全展開所對應的被聯(lián)接件寬度稱為大寬度被聯(lián)接件，即da>dc，以往傳統(tǒng)文獻一般取dc=βd+Ltanθ.

可以看到用傳統(tǒng)方法如文獻[4-6]計算螺栓被聯(lián)接剛度的公式不僅繁復，且產(chǎn)生誤差也很大，而在工程應用中對螺栓聯(lián)接結構各個不同參數(shù)取值的每種組合模型進行有限元建模技術要求高、難度大。本文在深入研究螺栓聯(lián)接預緊力優(yōu)化設計[10]和螺栓聯(lián)接結構接觸壓應力分布規(guī)律[9]基礎上，推導出符合實際受力環(huán)境，更為簡捷，且能準確擬合有限元結果的聯(lián)接剛度求解公式，實現(xiàn)對螺栓結構聯(lián)接剛度的精確設計。

為此對系統(tǒng)參數(shù)進行無量綱化處理，由于本文引用的系列模型已經(jīng)確定被壓接觸面上的壓應力分布規(guī)律[9]，且確定所有螺栓聯(lián)接結構遵循最佳預緊力設計原則[10]，在此前提下螺牙結構的最大應力為屈服前彈性狀態(tài)，這也是所有螺栓結構的最佳工作狀態(tài)，即最大彈性力拉緊接觸狀態(tài)。在此狀態(tài)下結構的接觸面大小和應力強度分布決定了螺栓聯(lián)接剛度。因此被聯(lián)接結構剛度只取決于本身結構的固有特性和接觸面積區(qū)域內(nèi)應力強度，外載荷不再需要進行無量綱化處理。

設螺栓受拉壓載荷時的剛度為

(6)

(7)

由此導出被聯(lián)接剛度km也可以表示為比值d/L的函數(shù)形式：

(8)

式中：Em為被聯(lián)接件材料的彈性模量。

考慮到螺母系數(shù)和間隙系數(shù)的影響，并把被聯(lián)接板看作是一個外徑為βd、內(nèi)徑為αd的圓環(huán)管，先假設圓環(huán)管的應力是均勻分布的，則其剛度可以表示為

(9)

變形為

(10)

當然被聯(lián)接件不可能完全是一個圓環(huán)管，但是其剛度形式必然與(10)式有相似之處。假設將(β-α)d/L作為一個自變量，則聯(lián)接剛度可以表示為

(11)

圖3 (3)式和FEA結果無量綱化Fig.3 Dimensionless of Eq.(3) and FEA results

2.2 大寬度聯(lián)接剛度計算公式

應以控制徑流系數(shù)為重點，強化地表徑流控制和人為生產(chǎn)建設活動土石方綜合利用；強化雨水控制和集蓄利用，提高雨洪利用程度；適當拓展河道空間，建設濱河（湖）綠帶；強化城區(qū)河湖水質改善；加強小流域內(nèi)排洪水系的連通與疏浚，降低城市防洪壓力。

根據(jù)上述無量綱化方法進行不同螺栓、不同螺母系數(shù)和孔隙系數(shù)、不同聯(lián)接厚度等多變量參數(shù)模型的有限元建模計算和數(shù)據(jù)采集，圖4為系列計算模型位移數(shù)據(jù)云圖之一，通過對螺母與被聯(lián)接件接觸面進行位移數(shù)據(jù)采集，并對這些數(shù)據(jù)進行積分和均勻化處理，獲得被聯(lián)接件位移剛度。

圖4 計算模型位移數(shù)據(jù)云圖Fig.4 Nephogram of displacement data of calculation model

采用2次函數(shù)式進行曲線擬合，得到大寬度聯(lián)接剛度計算公式為

(12)

用此剛度計算公式(12)式得到的擬合曲線如圖5所示。

圖5 剛度擬合經(jīng)驗公式曲線圖Fig.5 Fitted curve of stiffness empirical formula

需要指出的是上述剛度計算公式(12)式計算簡易方便，擯棄以往用固定錐角θ代替應力分布關系的假設，避免由此引起的誤差。由于曲線擬合是基于FEA模型的綜合結果，可以說該公式是在da>dc時全面反映螺栓聯(lián)接結構接觸、摩擦、接觸面分離等實際情況的。da>dc也是螺栓聯(lián)接結構實際應用的最普遍情況，當聯(lián)接板的寬度直徑大于dc時，聯(lián)接剛度不再隨寬度增加而改變，此時螺栓結構的聯(lián)接剛度趨于漸近值。

3 有限寬度聯(lián)接的剛度計算

從FEA模型曲線被聯(lián)接件寬度對聯(lián)接剛度的影響(見圖6)中可以發(fā)現(xiàn)，被聯(lián)接件寬度從da=βd到da>dc，剛度是隨da的增大而增大，最終趨近于漸近值。當被聯(lián)接件寬度在有限區(qū)間即βd≤da≤dc時，根據(jù)螺栓聯(lián)接接觸面壓應力分布的連續(xù)性原理[9]，本文推導出能夠連續(xù)擬合的剛度計算公式，并實現(xiàn)與da>dc時剛度計算公式(12)式的連續(xù)對接，這與實際螺栓聯(lián)接結構和FEA結果的連續(xù)性一致。

圖6 被聯(lián)接件寬度對剛度的影響Fig.6 Influence of plate diameter on stiffness

當da≤βd時螺栓聯(lián)接剛度為

(13)

式中：t是應力分布修正系數(shù)。

當da>dc時，剛度值則為(12)式所對應的值。

當βd≤da≤dc時，本文用推導函數(shù)來擬合上述兩部分實現(xiàn)完整的連續(xù)函數(shù)曲線。函數(shù)應該滿足如下條件:

2) 當da>dc時，函數(shù)值應等于(12)式計算剛度值。

當da>βd時，完整的聯(lián)接剛度式為

所以完整的被聯(lián)接結構聯(lián)接剛度可以表示為

(14)

(15)

(16)

(17)

(14)式、(15)式、(16)式、(17)式即是本文推導出的擬合實際螺栓結構聯(lián)接剛度的計算公式。依照(14)式～(17)式帶入相應的不同參數(shù)螺栓結構，計算其剛度值變化曲線，并與完全相同的數(shù)值模型曲線比對，結果如圖7所示。

圖7(a)、圖7(b)、圖7(c)顯示不同螺栓在不同聯(lián)接長度情況下剛度隨da變化曲線，可以發(fā)現(xiàn)剛度公式與FEA結果基本一致，誤差為0%～3.16%，在數(shù)值計算的工程精度范圍內(nèi)。

圖7 螺栓FEA剛度與計算剛度曲線對比圖Fig.7 Bolt joint stiffnesses calculated by FEA empirical formulas

圖8(a)是α=1.04、β=1.8、L=40 mm的M10螺栓聯(lián)接結構FEA剛度曲線和本文剛度公式曲線與各文獻計算的剛度曲線比較圖，圖8(b)是α=1.067、β=1.5、L=60 mm時M12螺栓聯(lián)接結構FEA剛度曲線和本文剛度公式曲線與各文獻計算剛度曲線比較圖，通過圖8(a)、圖8(b)計算結果的比較。可以清晰看到由本文剛度計算公式獲得的計算結果與FEA結果曲線的匹配程度比圖8中任何其他文獻計算結果都更為接近準確，因此能有效替代以往的工程計算方法更好地滿足現(xiàn)代工程設計的高精度要求。

圖8 M10、M12的本文剛度公式、FEA與各文獻剛度計算結果比較Fig.8 M10, M12 stiffnesses calculated by empirical formulas, FEA and Refs.[5-6]

4 聯(lián)接長度和螺母系數(shù)對聯(lián)接剛度的影響

前述已經(jīng)推導和論證了不同參數(shù)下螺栓結構聯(lián)接剛度的計算公式，并通過聯(lián)接剛度隨被聯(lián)接板最大寬度直徑da的變化曲線，證明了本文剛度計算公式的準確性。由于最佳預緊力設計原則下最大受力螺牙上的承載應力為屈服前應力，亦是結構中所承受的最大應力。根據(jù)這個最大應力原則設計的長效健康螺栓聯(lián)接結構在材料為同一彈性模量E時，其結構接觸面連接剛度遵循彈性剛度原則，即K=EA/L,其中主要影響因素是最大接觸壓力狀態(tài)的最大接觸面積和壓應力強度分布。而文獻[8]和文獻[9]分別通過實驗和仿真對比，有效證明了二者接觸面積和壓應力分布的一致性，進而證明了仿真模型接觸剛度的正確性，這也充分闡明了螺栓連接結構的內(nèi)在力學機理。以上述理論和模型為基礎推導出的聯(lián)接剛度公式通過與FEA曲線的對比驗證進一步證明了其可靠性及準確度。

圖9(a)和圖9(b)分別表達了M10螺栓在大寬度(da=100 mm)和有限寬度(da=22 mm)時剛度受被聯(lián)接件長度L影響下本文公式和FEA得到的結構聯(lián)接剛度曲線，這里聯(lián)接長度L在大寬度時分別取12 mm、16 mm、20 mm、24 mm和28 mm，在有限寬度時分別取24 mm、32 mm、40 mm、48 mm和56 mm，以聯(lián)接剛度與直徑比d/L為坐標系。圖9(a)、圖9(b)表明，隨著聯(lián)接長度L的增加，剛度將減小。圖9中FEA結果與剛度公式的誤差為1.29%～4.28%.

圖9 直徑比d/L對螺栓聯(lián)接剛度的影響Fig.9 Influence of d/L on stiffness

圖10(a)和圖10(b)分別是M10螺栓在被聯(lián)接件大寬度和有限寬度情況下，且大寬度聯(lián)接長度L=20 mm，有限寬度聯(lián)接長度L=60 mm，螺母系數(shù)β分別為1.4、1.6、1.8、2.0、2.2和2.4時本文公式和FEA所得到的聯(lián)接剛度與螺母系數(shù)β的關系。從圖10中可看出，隨著螺母系數(shù)的增加，剛度值增大，亦即在一定范圍內(nèi)隨著螺母的增大，被聯(lián)接件的壓應力分布變大，相應的剛度值變大。FEA結果和本文公式計算結果的誤差為0.04%～3.52%.

圖10 螺母系數(shù)對螺栓聯(lián)接剛度的影響Fig.10 Influence of nut coefficient on stiffness

5 結論

本文的螺栓聯(lián)接預緊力設計系列參數(shù)模型，充分考慮了螺栓聯(lián)接結構實際工作狀態(tài)下材料、預緊力、摩擦等因素，通過在板與板以及螺母與板之間的各個接觸面間建立摩擦接觸對，在已論證各接觸面間壓應力分布的有效性和可靠性基礎上[9]，得到系列FEA模型剛度曲線，通過無量綱化研究出新的螺栓結構聯(lián)接剛度計算公式，并探討了螺栓結構各幾何參數(shù)對剛度的影響，得到結論如下：

1)本文以實際接觸面壓應力分布理論為基礎提出的螺栓聯(lián)接剛度計算公式，與以往文獻的經(jīng)驗公式有質的區(qū)別，對比FEA結果其計算誤差<3.5%，證明了該計算公式的有效性和實際工程應用價值。

2)研究證明螺栓聯(lián)接剛度隨著被聯(lián)接件寬度的增加而增加，且在da>dc后逐步趨近于一個漸近值。

3)被聯(lián)接件聯(lián)接剛度隨著聯(lián)接長度的增加而減小，隨螺母系數(shù)的增大而增大，而螺栓的孔隙系數(shù)對結構剛度影響很小。

References)

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Study of Bolt Joint Stiffness Based on Contact Surface Characteristics

ZHANG Yi-hua1, PANG Kui2, LIN Dan-yi1, MAI Yun-fei3, SUN Xiao-meng3, YANG Guo-yu4

(1.Institute of Automotive CAE Applications, Ningbo Dahongying University, Ningbo 315175，Zhejiang，China;2.Institute of Motorcycle，Lifan Industry (Group) Co., Ltd., Chongqing 400700;3.School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093，China;4.EASi Engineering,Detroit 48201, MI, US)

Bolt joint is widely used in industry because of its reliability and effectiveness. The joint stiffness plays a very important role in bolt joint structure. A finite method of bolt joint structures under the optimal preload is proposed. The joint stiffness is analyzed for different structural parameters in consideration of the nonlinear factors,such as of force, contact property and friction. The effects of bolt pretightening force, thickness and external diameter of joint member, and nut parameters on joint stiffness are studied. The dimensionless stiffness function expression is derived through the experimental verification of contact surface compressive stress distribution and the assumption of joint stiffness continuity, and the model dimensionless stiffness data is fit. The formula for calculating bolt joint stiffness is developed based on the results of finite element analysis (FEA). The effectiveness and accuracy of joint stiffness calculation formula is verified by comparing FEA results with those from previous studies.

solid mechanics; parameter model; contact area; stress distribution of contact surface; joint stiffness; dimensionless

2015-11-02

浙江省自然科學基金項目(LY12E05012)

章伊華(1962—)，男，副研究員。E-mail:zhyh116@163.com

O343.3；O344.1

A

1000-1093(2017)01-0195-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.01.026