歸納簡易邏輯知識點中的突破方法

■河南省商丘市第一高級中學 郭 永

歸納簡易邏輯知識點中的突破方法

■河南省商丘市第一高級中學 郭 永

一、四種命題及其真假判斷

例1 在命題p的四種形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中,真命題的個數記為f(p),已知命題p:“若兩條直線l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,則a1b2-a2b1=0。”那么f(p)等于( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：原命題p顯然是真命題,故其逆否命題也是真命題。而其逆命題“若a1b2-a2b1=0,則兩條直線l1與l2平行”是假命題,因為當a1b2-a2b1=0時,還有可能l1與l2重合,逆命題是假命題,從而否命題也為假命題,故f(p)=2。

方法規律總結：判斷四種命題間的關系的方法:(1)在判斷四種命題之間的關系時,首先要注意分清命題的條件與結論,再比較每個命題的條件與結論之間的關系。要注意四種命題關系的相對性,一旦一個命題定為原命題,也就相應地有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”。(2)當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時,必須保留大前提,也就是大前提不動;對于由多個并列條件組成的命題,在寫其他三種命題時,應把其中一個(或n個)作為大前提。

二、充分條件與必要條件的判斷

例2 (1)設a∈R,則“a=1”是“直線l1:a x+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )。

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)下面四個條件中,使a>b成立的充分不必要的條件是( )。

A.a>b+1 B.a>b-1

C.a2>b2D.a3>b3

解析：(1)“直線l1:a x+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充要條件是“由,解得a=-2或1”。故“a=1”是“直線l1:a x+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要條件。

(2)對于 A,a>b+1?a-b>1>0?a>b,但a=2,b=1滿足a>b,又a=b+1,故A項正確。對于B,a>b-1不能推出a>b,故B項錯誤。對于C,由a2>b2不能推出a>b,如a=-2,b=1,(-2)2>12,但-2<1,故C項錯誤。對于D,a>b?a3>b3,它們互為充要條件,故D項錯誤。

方法規律總結：充分條件、必要條件的判斷方法:判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析。一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p。

三、充要條件的應用

例3 已知P={x|x2-8x-2 0≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}。

(1)是否存在實數m,使x∈P是x∈S的充要條件?若存在,求出m的范圍。

(2)是否存在實數m,使x∈P是x∈S的必要條件?若存在,求出m的范圍。

解析：(1)由x2-8x-2 0≤0,得-2≤x≤1 0,所以P={x|-2≤x≤1 0}。

綜上可知,當m≤3時,x∈P是x∈S的必要條件。

方法規律總結：(1)解決與充要條件有關的參數問題,一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式求解。(2)利用轉化的方法理解充分必要條件。若非p是非q的充分不必要、必要不充分、充要條件,則p是q的必要不充分、充分不必要、充要條件。

(責任編輯 王福華)