計數問題探究中的“多種思維方法”

■山東省墾利第一中學 許茹悅

計數問題探究中的“多種思維方法”

■山東省墾利第一中學 許茹悅

計數問題種類繁多,方法多變,但無外乎元素與位置的關系問題。是先考慮“元素”,還是先考慮“位置”,或是將“元素”與“位置”綜合起來考慮,就衍生出眾多的解題策略與思維方法。只要把握住最基本、最常見的原理和方法,挖掘和提煉典型題目求解過程中所蘊含的多種思維方法,就能夠以不變應萬變,從而有效地提高解決問題的準確性。

一、數字組成中的“多種思維方法”

例1 在由數字0、1、2、3、4、5所組成的沒有重復數字的四位數中,不能被5整除的數共有___個。

解法1：特殊元素優先法分類。根據所求四位數對0和5兩個元素的特殊要求將其分為四類:①含0不含5,先安排0的位置填空位,共有4 8(個);②含5不含0,安排5的位置填空位,共有③含0也含5,先安排0和5的位置填空位,共有=4 8(個);④ 不合0也不含5,共有=2 4(個)。所以,符合條件的四位數共有4 8+7 2+4 8+2 4=1 9 2(個)。

解法2：特殊位置優先法分步。根據所求四位數對首末兩位置的特殊要求可分三步:第一步:排個位,有種方法;第二步;排首位,有種方法;第三步:排中間兩位,有種方法。所以符合條件的四位數共有

解法3：間接法。數字0、1、2、3、4、5組成的沒有重復數字的四位數有能被5整除的數有兩類:個位數為0的有6 0(個);個位數為5的有4 8(個)。故符合條件的四位數共有3 0 0-6 0-4 8=1 9 2(個)。

反思：數字組成常常圍繞“首末位、特殊元素0、奇偶性、整除或互質關系、大小關系”等展開,求解的思維方法,要么特殊元素優先法分類,要么特殊位置優先法分步,還可以應用間接法求解。試回味本題探究中的三種思維方法。

二、排隊問題中的“多種思維方法 ”

例2 甲、乙、丙、丁等七人排成一排,要求甲在中間,乙、丙相鄰,丁不在兩端,則不同的排法共有____種。

解法1：特殊元素,優先排列。甲、乙、丙、丁等七人按要求排成一排后,從左至右依次編號為1,2,3,4,5,6,7。顯然,甲必須排在4的位置上,依據丁的站位分類討論:

①當丁站在2或6的位置時,先讓乙、丙相鄰選位再排其他人,其排法有

②當丁站在3或5的位置時,先讓乙、丙相鄰選位再排其他人,排法有

則共有排法4 8+7 2=1 2 0(種)。

解法2：特殊位置,優先考慮。依據乙、丙的站位分類討論:

①當乙、丙站在“1與2”或“6與7”的位置時,丁不在兩端,符合要求的排列法有

②當乙、丙站在“2與3”或“5與6”的位置時,丁不在兩端,符合要求的排列法有

則共有排法4 8+7 2=1 2 0(種)。

反思：排隊問題常用的思維方法:(1)元素分析法,以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素。(2)位置分析法,以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置。(3)間接法,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉。

三、錯位排列中的“多種思維方法”

例3 有5雙不同的鞋,從中任取4只,求至少有2只配成1雙的可能取法種數。

解法1：直接分類研究。一類是4只中恰有2只配對,一類是4只鞋正好配成2雙。

(1)若4只鞋正好是2雙,直接從5雙鞋中任取2雙,共有取法為=1 0(種)。

(2)取出的4只鞋子有且只有2只能配成1雙,分2步完成:第1步,從5雙鞋子中任取1雙,有種取法。第2步再分為3類:第1類,從余下的穿在左腳的4只鞋子中任取2只,有種取法;第2類,從余下的穿在右腳的4只鞋子中任取2只,有種取法;第3類,從余下的穿在左(或右)腳的4只中任取1只,再在余下的穿在右(或左)腳的和已取的不相配的3只鞋子中任取1只,有種取法,故共有1 2 0(種)取法。或者,如果恰好有2只配成1雙,先從5雙中取出1雙,然后在剩下的4雙中取出2雙,2雙中各取1只不配對,共有取法

用分類計數原理,可得所有符合要求的取法有1 2 0+1 0=1 3 0(種)。

解法2：間接法研究。至少有2只配成1雙的對立事件就是4只均無配對,先從1 0只鞋中任取4只,有種取法,其中4只鞋都不成對可以看成從5雙鞋中取4雙,每雙取出一只,共有取法用間接法可得所有符合條件的取法種數為

反思：n個不同元素a1,a2,…,an排成一排(簡稱第k個位置為ak的本位),有且僅有m(m≤n)個元素不排在本位的排列稱為“錯位排列”。特別地,如果n個元素都不在本位,即m=n時,稱這樣的排列為“全錯位排列”。對于這種配對問題,我們先處理好成對的元素,再按要求處理其他元素,這實際上也是在遵循特殊元素優先處理的原則。

四、“至多 、至少”型問題用間接法或直接分類法

例4 從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,則共有____種不同的選法。

解法1：元素自然分組間接法求解。先選4人,再在所選4人中選出隊長1人,副隊長1人,其選擇方法為種,其中服務隊中至少有1名女生的對立事件為先選4個男生,再在所選4人中選出隊長1人,副隊長1人,其選擇方法為是服務隊中至少有1名女生的選法為

解法2：直接法分兩步完成。第一步,8名學生中選4人(至少有1名女生),其中1女3男有種選法,2女2男有種選法;第二步,分配職務,4人里選2人擔任隊長和副隊長有種選法。所以共有(2×2 0+1×1 5)×1 2=6 6 0(種)選法。

反思：含有“至多 、至少”型的排列組合問題,可直接分類后分步求解,多采用分類求解或轉化為它的對立事件間接法求解,若用間接法,即排除法,僅適用于反面情況明確且易于計算的情況,可以提高解題的速度和準確率。

例5 某校要從6個班級中選出1 0人組成一個籃球隊,要求每班至少選1人參加,則這1 0個名額的不同分配方法有____種。

解法1：相同元素分配問題,用枚舉法。除每班1個名額外,其余4個名額也需要分配,其分配方案可分為五類:①4個名額都分給某一個班有種分法;②4個名額分給二個班,每班2人,有種分法;③4個名額分給二個班,一個班1人,一個班3人,有種分法;④分給三個班,一個班2個,另兩個班各1個,有種分法;⑤分給四個班,每班1個,有種分法。故共有

五、相同元素分堆中的“多種思維方法”

解法2：相同元素分配問題,用隔板法。因為名額之間無區別,所以可把它們視作排成一排的1 0個相同的球,要把這1 0個球分開成6段(每段至少有一個球),這樣,每一種分隔方法都對應一種名額的分配方法,這1 0個球之間(不含兩端)共有9個空位,現要在這9個空位中放進5塊隔板,共有C59=1 2 6(種)放法,故共有1 2 6種分配方法。

反思：把n個相同的小球放入m個不同的盒子中(n≥m≥1),要求每個盒子非空,有種不同放法。這種方法通常稱為“隔板原理”,它在解決一類組合應用題時十分有用。隔板法比枚舉法簡捷。涉及名額分配或相同物品的分配問題,適宜采用隔板法。

(責任編輯 王福華)