對一道推理證明題的多解探究與推廣

■江蘇省奔牛高級中學高三（1 1(班 胡 益)指導老師 張 瑞

對一道推理證明題的多解探究與推廣

■江蘇省奔牛高級中學高三（1 1(班 胡 益)指導老師 張 瑞

在學習推理與證明一節內容時,筆者對一道填空題進行了多解探究,并將結論進行了推廣。現整理成文,與大家分享。

題目 若a,b,c是R t△A B C的三條邊,其中c為斜邊,則an+bn與cn(n>2,n∈N)的大小關系為____。

解法1：(構造冪函數法)在R t△A B C中,a2+b2=c2,且a2,n∈N時,an-2

點評:本解法利用了同向不等式的可加性,將an+bn傳遞到cn,其中不等式an-22,n∈R也成立,所以我們可以得到推論1。

推論1：若a,b,c是R t△A B C的三條邊,其中c為斜邊,則有an+bn2,n∈R)成立。解法2：(構造指數函數法)在 ︶R t△A B C中,a2+b2=c2,且a

點評:本解法同樣利用了同向不等式的可加性,只不過后面用到了指數函數y=

解法3：(解直角三角形,邊角轉換法)在R t△A B C中,a=cs i nA,b=cc o sA,則an+bn=cns i nnA+cnc o snA=cn(s i nnA+c o snA),因為角A為銳角,所以s i nA∈(0,1),當n>2,n∈N時,則s i nnA

點評:解三角形的本質是將三角形的邊與角進行相互轉化。本解法巧妙地運用a=cs i nA,b=cc o sA,將問題轉化為比較s i nnA與s i n2A,c o snA與c o s2A的大小,從而利用三角恒等式s i n2A+c o s2A=1解決問題。

解法4：(二項式定理法)在R t△A B C中,a

當n為偶數時,設n=2k,k≥2且k∈N*,則cn=(a2+b2)k>a2k+b2k=an+bn;

綜上,對任意n>2,n∈N,都有an+bn

點評:不等式(p+q)n>pn+qn(p>0,q>0,n≥2,n∈N)可由二項式定理推導證明。考慮到在鈍角三角形A B C中,若C為鈍角,且a,b,c分別是角A,B,C的對邊,有a2+b2

推論2：在鈍角三角形A B C中,若C為鈍角,且a,b,c分別是角A,B,C的對邊,則有an+bn

在學習類比推理時,曾經將勾股定理推廣到直四面體S-A B C中,過頂點S的三條棱 兩 兩 垂 直,則S2△SCA。聯想此結論可得到推論3。

推論3：對于n個正數a1,a2,a3,…,an均小于c,且(證明留給讀者思考)

美國著名數學家波利亞曾說:“當你找到第一個蘑菇或做出第一個發現后,再四處看看,它們總是成群生長的。”總之,在平時解題時我們不能僅僅滿足于得出答案,而應該從不同視角去思考問題,甚至可以將問題進行一般化推廣,往往會有橫看成嶺側成峰的效果,一題多解其樂融融。

(責任編輯 劉鐘華)