數列綜合題的解答策略

■河北省臨城中學2 0 1 4級0 2班 王旭飛

數列綜合題的解答策略

■河北省臨城中學2 0 1 4級0 2班 王旭飛

每年的高考數學試題中都有一道數列綜合題,一般都是綜合性比較高且比較難的題目。處理綜合題當然是要講究策略的,下面就根據自己在學習過程中的體會談談數列綜合題的幾個處理策略。

策略一：數列求和要學會先“和”再“分”的策略

已知數列{an}中的各項為:1 2、

(1)證明這個數列中的每一項都是兩個相鄰整數的積。

(2)求這個數列的前n項之和Sn。

分析：這里所說的“和”是指由數列的前幾項來獲得數列通項公式的過程。先要通過觀察,找出所給的一列數的特征,求出數列的通項,再進一步求和。

解：(1)

點評:本題難點在于求出數列的通項,再將這個通項“分成”兩個相鄰正數的積,解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

策略二：求數列的通項公式要學會“取倒”的策略;證明數列不等式要學會“放縮”的策略

已知數列{an}滿足

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;

分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉化成等比型的數列,對數列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。

解：(Ⅰ)因為所以

因為T1＜T2＜T3,所以對任意的n∈

點評:本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列的通項,第(Ⅲ)問不等式的證明要用到放縮的方法。

策略三：獲取遞推關系要學會利用函數的策略;數列求和要學會使用裂項的策略

(1)求函數f(x)的表達式;

(2)求證:an+1＞an;

分析：本題是借助函數給出遞推關系,第(2)問的不等式利用了函數的性質,第(3)問是轉化成可以裂項的形式,這是證明數列中的不等式的另一種方法。

解：(1)由題意得又因為α為銳角,所以所以s所以f(x)= x2+x。

點評:把復雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想,本題中的第(3)問不等式的證明更具有一般性。

策略四：求數列的通項公式要學會“構造”的策略;證明數列要學會觀察連續三項間的關系的策略

已知數列{an}滿足a1=1, an+1=2an+1(n∈N*)。

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;

(Ⅱ)若數列{an}滿足4b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+1)bn,證明:{an}是等差數列。

分析：對于第(1)問,通過把遞推關系式構造成等比型的數列即可解決問題;求解第(2)問關鍵在于找出連續三項間的關系。

解：(1)因為an+1=2an+1,所以an+1+1= 2(an+1),故數列{an+1}是首項為a1+1= 2,公比為2的等比數列。所以an+1=2n,所以an=2n-1。

(2)因為4b1-14b2-14b3-1…4bn-1=(an+ 1)bn,所以4(b1+b2+…+bn-n)=2n bn。

所以2(b1+b2+…+bn)-2n=n bn。①

2(b1+b2+…+bn+bn+1)-2(n+1)= (n+1)bn+1。②

②-①得2bn+1-2=(n+1)bn+1-n bn,即n bn-2=(n-1)bn+1。③

所以(n+1)bn+1-2=n bn+2。④

④-③得2n bn+1=n bn+n bn+2,即2bn+1= bn+bn+2,所以數列{bn}是等差數列。

點評:實際上,由數列遞推關系式求數列的通項公式,慣用的手段就是利用數列遞推關系式構造一個新的等差或等比數列,再利用新的等差或等比數列來確定所求數列的通項公式。如果數列是等差或等比數列,則數列中連續三項間的關系就是一個等差中項或等比中項的關系,從而就可以確定數列。

(責任編輯 王福華)