基于有約束多目標進化算法的冷軋負荷分配分析

孫 浩 肖 宏 胡慶軍1.燕山大學電氣工程學院，秦皇島，066002.燕山大學機械工程博士后流動站，秦皇島，06600.燕山大學機械工程學院，秦皇島，06600.天津電氣科學研究院有限公司，天津，0001

基于有約束多目標進化算法的冷軋負荷分配分析

孫 浩1,2肖 宏3胡慶軍4
1.燕山大學電氣工程學院，秦皇島，0660042.燕山大學機械工程博士后流動站，秦皇島，0660043.燕山大學機械工程學院，秦皇島，0660044.天津電氣科學研究院有限公司，天津，300301

冷軋負荷分配問題可以抽象為一個有約束多目標優化問題。為解決此問題，提出了基于環境Pareto支配選擇策略的有約束多目標進化算法。該算法更加客觀地評價了兩個不同解的優劣，利用優秀不可行解加速算法收斂。以等功率裕量、最小軋制能耗、最小綜合打滑函數、末機架板形良好軋制力為優化目標，利用有約束多目標進化算法得到了4個目標函數之間的定量關系，使決策者不需要掌握復雜的軋制理論知識就可以直觀地掌握軋制規律，并進一步說明了多目標策略在壓下負荷分配中的必要性。

有約束多目標優化問題；約束處理技術；冷軋壓下負荷分配；差分進化算法

0 引言

在冷連軋生產過程中，負荷分配直接關系到機組生產狀態和產品質量。國內外科研人員通過建立不同的目標函數和約束條件來達到不同的生產目標[1]。單目標優化算法以其求解效率高、速度快等特點，在生產實際中得到了廣泛應用。但軋制過程是一個多變量、時變性和強耦合的系統，根據單目標優化而來的結果很難滿足各種要求，所以軋制過程的多目標優化問題被提出[2-4]。

軋制負荷分配本質是一個有約束多目標優化問題。國內外對無約束多目標優化問題的研究成果很多[5-6]，但對于約束處理技術的研究相對較少。王勇等[7]對當前基于進化算法的約束處理技術進行了較為詳盡的概括。多目標約束處理技術大致分為三類：基于罰函數的約束處理技術、基于多目標算法的約束處理技術和基于排序的約束處理技術[8-10]。

在以往軋制負荷分配問題中，約束處理主要采用罰函數法。雖然罰函數法構造簡單易于實現，但合理的懲罰系數難以確定。為克服這一缺點，本文提出基于環境Pareto支配選擇策略的多目標進化算法。此策略更注重可行解與不可行解的客觀比較，使得優秀不可行解在進化過程中得以保留，加快算法的收斂速度。

1 有約束多目標優化問題模型

以最小多目標優化問題為例，有約束多目標優化問題(multi-objective constrained optimizat-ion problem，MOCOP)可定義如下[11]：

min F(X)=(f1(X),f2(X),…,fk(X))s.t. gi(X)≤0 i=1,2,…,p
hj(X)=0 j=1,2,…,q

其中，F(X)為目標函數；X=(x1,x2,…,xn)∈Rn為n維決策向量;gi(X)、hj(X)分別為不等式約束和等式約束條件，滿足約束條件的解空間S為上式的可行域。對于等式約束hj(X)=0可以設定容許誤差δ>0，將它轉變為如下不等式約束：

|hj(X)|≤δ

在后文問題的討論中，僅考慮帶有不等式約束的優化問題。

2 改進的有約束多目標進化算法

2.1 基于環境Pareto支配選擇策略的提出

選擇操作決定著算法的進化方向，是進化算法前進的動力，不同的選擇策略會使進化種群向著不同的方向進化。利用這一生物學上的特性，對于有約束多目標問題，采用同樣的處理策略。

在有約束多目標問題中，目前應用最廣泛的是DEB等[12]提出的約束占優直接支配選擇策略：

(1)兩個個體相比較，如果一個個體為可行解，而另一個個體為不可行解，則選擇可行解作為較優個體；

(2)兩個個體相比較，當兩個個體均為可行解，則選擇非支配個體作為較優解，如果兩個個體互不支配，則選擇擁擠度較大的個體作為較優解；

(3)兩個個體相比較，如果兩個個體均為不可行解，則選擇違反約束程度較小的個體作為較優個體。

通過以上描述不難看出，以上策略的選擇結果更加傾向于可行解。不論在什么情況下可行解總是優于不可行解，這顯然是不合理的。在有約束多目標問題中，決策空間被約束條件分為可行域和不可行域兩部分。形象地說，如果將整個決策空間想象為一個大湖，那可行域就像是漂浮在湖中的數個孤島，不可行域就是孤島周圍的湖水，想要登上這些孤島和其中的“最佳解”，勢必需要湖水中所攜帶的“信息”。如果僅僅依靠有限的可行解去尋找其中的最佳解集，其尋優效率勢必低下，只有充分發掘不可行解的信息，兩者相互配合才能更快更精準地尋找到全局最優解，所以，優秀的不可行解在尋優過程中所起的作用遠遠大于那些劣質的可行解。

在有約束多目標問題中，判斷解的優劣不應只以約束作為唯一標準，應結合更多的環境信息。以進化種群作為計算整體，每一個個體均具有以下環境信息：違反約束程度、與約束邊界的距離、擁擠度、支配關系。本文結合以上4個環境信息提出了一種環境Pareto支配選擇策略：

(1)當一個個體為可行解，另一個個體為不可行解，如果可行解的邊界距離小于不可行解的邊界距離，則選擇可行解作為較優個體，否則選擇兩個個體中的非支配個體，如果兩個個體互不支配，則選擇擁擠度較大的個體；

(2)當兩個個體均為可行解時，選擇非支配個體，如果兩個個體互不支配，則選擇擁擠度較大的個體；

(3)當兩個個體均為不可行解時，選擇非支配個體，如果兩個個體互不支配，則選擇違反約束程度較小的個體。

違反約束程度C及與約束邊界距離D的計算公式為

式中，p為不等式約束個數；gj(xi)為第i個個體在不等式約束j下的值。

擁擠度W計算公式：

式中，k為目標函數個數;N為種群個體數;fj(1),fj(2),…,fj(N)為全部個體在目標函數j上從小到大的排列。

以上選擇規則可用圖1～圖3表示。通過比較兩種不同的選擇策略可知，環境Pareto支配選擇策略對規則(1)進行了較大的改動，不再以是否可行作為選擇的唯一準則。由圖1可知，環境Pareto支配選擇策略中的規則(1)結合了其他環境因素，更加客觀地評價了兩個解之間的優劣，使得可行解與不可行解競爭時，優秀的不可行解得以勝出。對于有約束問題，這一選擇機制更加合理，更加有利于優秀不可行解的保留，從而為變異、交叉等操作提供更有利的信息；環境Pareto支配選擇策略規則(2)兩者相同，仍然以支配關系作為選擇標準；環境Pareto支配選擇策略規則(3)增加了支配關系的比較，將其作為首要判斷標準，使得不可行解也在一定程度上向著Pareto前沿進化，其次將約束程度作為最終判定指標，選擇出違反約束程度較低的個體。

圖1 環境Pareto支配選擇策略規則(1)Fig.1 The first selection strategy of environmental Pareto dominance

圖2 環境Pareto支配選擇策略規則(2)Fig.2 The second selection strategy of environmental Pareto dominance

圖3 環境Pareto支配選擇策略規則(3)Fig.3 The third selection strategy of environmental Pareto dominance

2.2 改進的變異策略

有約束多目標問題有它自身的特點，最優Pareto前沿往往位于可行域與不可行域之間的邊界。在進化計算中，優秀的不可行解同樣不容忽視，它可以為進化過程提供有益的方向信息。為充分利用這一部分優秀不可行解，提出以下改進措施。

在進化過程中，外部不可行解集可能為空，所以定義以下兩種情況：

2.3 外部種群更新策略的改進

外部種群分為可行解集和不可行解集，設其最大容量分別為N1和N2(N1>N2)，具體更新方式如下。

可行解集的更新：將本代新產生的可行個體與可行解集結合為一個新的種群，選出其中的非支配個體，刪除其他個體，如果個體數目小于N1則直接構成新的可行解集；如果數目大于N1則采用循環刪除的方法刪除擁擠度較小的個體[13]。

不可行解集的更新：設置平衡系數β2(0<β2<1)，將本代新產生的不可行個體與不可行解集結合為一個新的種群，選出其中的非支配個體，刪除其他個體，如果個體數目小于N2，則直接構成新的不可行解集；如果個體數目介于N2與N2(1+β2)之間，則采用循環刪除的方法刪除擁擠度較小的個體；如果個體數目大于N2(1+β2)，則首先刪除違反約束度較大的個體，使個體數目為N2(1+β2)，然后采用循環刪除的方法刪除擁擠度較小的個體。

2.4 算法流程

基于環境Pareto支配選擇策略的有約束多目標差分進化算法的具體實現步驟如下：

(1)初始化，設定相關參數：種群大小P，可行解集大小N1，不可行解集大小N2，縮放因子F、變異概率PCR，變異策略選擇概率β1，平衡系數β2，最大迭代次數G；

(2)隨機產生大小為P的初始種群，計算其目標函數值和約束程度；

(3)依據2.3節生成可行解集與不可行解集；

(4)依據2.2節及基本差分進化算法[14]對本代個體進行變異及交叉操作；

(5)運用基于環境Pareto支配選擇策略選擇出下一代個體；

(6)更新可行解集與不可行解集；

(7)判斷是否滿足終止條件，若不滿足轉到步驟(4)，否則輸出可行解集，即優化結果。

3 冷軋負荷分配分析

3.1 負荷分配計算流程

軋制負荷分配計算涉及一系列相關模型[15-17]，這些模型相互關聯，相互影響。軋制負荷分配主要計算流程見圖4。

圖4 負荷分配計算流程Fig.4 The flow chart of load dispatch

3.2 目標函數及約束條件的確定

為了充分發揮電機能力，一般選取等功率裕量為目標函數。為了保證末機架出口板形良好，其壓下量只允許較小的值，所以不考慮末機架的功率裕量，其目標函數為

式中，Ni為i機架功率;kW；NHi為i機架額定功率，kW。

為了達到軋制過程中節能減排的目的，需制訂最小軋制能耗目標函數。因為軋制能耗即為實際軋制功率與時間的乘積，所以本文采用最小軋制功率作為實際的目標函數：

其值越小，說明軋制能耗越低。

冷軋板形是評價板材質量的一個重要指標，所以建立末機架板形良好目標函數：

式中，KP為軋制力對輥系彎曲變形影響的橫向剛度，kN/mm；Psh為保持良好板形所應有的軋制力，kN；Δ為原料凸度，mm；H0為原料厚度，mm；KF為彎輥力對輥系彎曲變形影響的橫向剛度，kN/mm；h1為出口厚度，mm；Fw為彎輥力，kN；ω∑為綜合初始輥型，mm；Eω為綜合輥型影響系數。

為防止帶材出現打滑現象，致使表面產生劃痕，降低產品質量，各機架打滑因子應小于0.5，因此建立防打滑綜合目標函數：

在負荷分配計算過程中，有一些必要的限制條件。計算結果不能超出設備和工藝要求的極值，定義以下約束條件。

設備因素約束條件：

Pi≤PiMNi≤NiMMi≤MiM

式中,Pi、Ni、Mi分別為軋制力、軋制功率和軋制力矩；PiM、NiM、MiM分別為設備允許的最大軋制力、最大軋制功率和最大軋制力矩。

工藝因素約束條件：

Tmin≤T≤Tmax

εmin≤ε≤εmax

nmin≤n≤nmax

式中,T、ε、n分別為張力、道次壓下率和轉速。

3.3 結果分析

仿真設定來料厚度5 mm，成品厚度1 mm，軋輥半徑均為300 mm，張力由一機架入口到五機架出口依次為150 kN、130 kN、110 kN、90 kN、70 kN、50 kN，末機架出口板材速度8 m/s，板寬1250 mm，各個機架電機額定總功率均為18 000 kW，鋼種Q235。

根據上述目標函數和約束條件，應用基于環境Pareto支配選擇策略的有約束多目標差分進化算法對上述問題進行求解，可以得到4個目標函數之間的相互關系。由于4個目標函數之間的可視化顯示難以表示，圖5～圖10給出了4個目標函數之間的兩兩關系，Pareto前沿以1000點描繪。圖5～圖10中，1表示等功率裕量極端點； 2表示最小能耗極端點；3表示綜合打滑因子極端點； 4表示末機架最佳軋制力極端點；5表示選定的4個目標的均衡點。

圖5 功率裕量與最小能耗之間的關系Fig.5 The relationship between the power margin and minimum power

圖6 功率裕量與打滑因子之間的關系Fig.6 The relationship between the power margin and slip factor

圖7 功率裕量與板形良好軋制力之間的關系Fig.7 The relationship between the power margin and rolling force for quality shape

圖8 最小能耗與打滑因子之間的關系Fig.8 The relationship between the minimum power and slip factor

圖9 最小能耗與板形良好軋制力之間的關系Fig.9 The relationship between the minimum power and rolling force for quality shape

圖10 打滑因子與板形良好軋制力之間的關系Fig.10 The relationship between the slip factor and rolling force for quality shape

在同時兼顧4個目標的情況下，由圖5可知，等功率裕量和最小能耗兩個目標之間呈四邊形分布，兩個目標函數均不可能同時達到最優，在這個近似的四邊形區域內，當等功率裕量最小時最小功耗目標函數大約為3.44×104kW，能耗最大最小之間的差值為1800 kW，也就是說不論什么壓下策略，軋制所消耗的能量最大值與最小值之差不超過1800 kW，這符合基本的能量守恒定律，即生產產品的單位能耗最小值是一定的，不可能無限減小，也不可能無限增大。

由圖6可知，等功率裕量和打滑因子之間也呈四邊形分布。當打滑因子目標函數最小時，功率裕量大概為6000 kW。若只考慮這兩個目標函數，也不可能同時達到最優，在等功率裕量減小時，必然伴隨著打滑因子的增大，如果產品更加偏重于板面質量，則要犧牲等功率裕量來盡可能減小打滑因子的值，反之亦然。理論上，只要保證各個機架的打滑因子小于0.5，則可顯著降低打滑產生的概率。

由圖7可知，等功率裕量和末機架板形良好軋制力之間沒有明顯的關系。等功率裕量只考慮了前4個機架的電機功率，而末機架板形良好只考慮了第五機架，前4個機架的功率平衡并不會對末機架軋制力產生較大的影響，所以，在優化結果的關系圖中，可以很清楚地看出，兩者之間的關系不明顯。

由圖9可知，最小能耗和末機架板形良好軋制力之間呈現明顯的負相關性，當能耗增大時，末機架板形良好軋制力將減小，直至為0。說明在增加能耗的情況下，有利于減小設定軋制力與期望軋制力之間的絕對差值，利于提高產品質量。

由圖10可知，打滑因子與末機架良好板形軋制力之間也是負相關，也就是說必須在兩者之間尋找一個平衡點，既不能使打滑概率超過期望值，也不能使末機架產生較大的板形偏差。

表1給出了當4個目標函數中每一個達到最優值和4個目標函數相對均衡時的計算參數。4個極端點及均衡點在Pareto前沿上的位置在圖5～圖10中已標記。由表1可知，當每一個目標函數達到最優時，可以看成是以這個目標函數為單目標問題的求解結果，結合圖11～圖14可知，當等功率裕量為最優時，軋制能耗高于兩個策略而低于另一個，不能達到最佳節能，末機架板形良好軋制力也與預測需要的軋制力相差較大，5個機架的打滑因子分布也不均勻，第一機架的打滑因子明顯略高，其他機架依次降低。當另外某一目標函數為最優時，相同的現象也會發生在其他目標函數上面。而選定的均衡點則綜合考慮了4個目標函數之間的關系，使得各個目標函數值在滿足生產條件的情況下達到相對最優。從優化結果中也可以看出，單目標優化不能兼顧其他，已經不能滿足生產要求。而壓下策略的制訂必然要滿足多種條件，以達到各方面生產工藝的要求。

表1 不同策略下的計算參數Tab.1 The calculating parameters under different strategies

圖11 不同極端策略下的軋制總功率比較Fig.11 The total power of rolling under different extreme strategy

圖12 不同極端策略下的末機架軋制力比較Fig.12 The rolling force of end stand under different extreme strategy

圖13 不同極端策略下的各機架軋制功率比較Fig.13 The rolling power of each stand under different extreme strategy

圖14 不同極端策略下的各機架打滑因子比較Fig.14 The slip factor of each stand under different extreme strategy

通過基于環境Pareto支配選擇策略的有約束多目標差分進化算法對4個目標函數進行求解，得到兩兩目標函數之間的定量關系，可以使得決策者不需要掌握復雜的軋制理論知識就可以很直觀地掌握軋制規律。根據生產要求，通過對以上4個目標函數的綜合分析，制訂更加科學合理的壓下策略。

4 結論

有約束多目標進化算法在科研及生產中有著廣泛的應用，本文提出基于環境Pareto支配的選擇策略，使得相較于劣質可行解的優秀不可行解得以進化到下一代，并且參與到變異當中，應用上述策略來處理多目標優化問題中的約束條件。該方法簡單易行，不需考慮多余的參數。

軋制壓下策略的多目標優化問題，不僅僅是一個優化求解問題，還可以從優化解集中形象地表示出各個目標函數之間的定量關系。通過這一最優解集，可以使得決策者不需要了解軋制理論就可以形象科學地認知到各個目標函數之間的定量關系，然后根據生產要求，制訂不同的壓下策略。

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(編輯 袁興玲)

Analysis for Load Distribution of Tandem Cold Rolling Based on Constrained Multi-objective Evolutionary Algorithm

SUN Hao1,2XIAO Hong3HU Qingjun4

1.School of Electrical Engineering,Yanshan University, Qinhuangdao，Hebei，066004 2.Post-Doctoral Stations of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao，Hebei，066004 3.School of Mechanical Engineering, Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004 4.Research Institute of Electric Science Co.，Ltd.，Tianjin，300301

The load distribution of tandem cold rolling might be abstracted as a constrained multi-objective optimization problem. To solve this problem, an evolution algorithm was proposed based on environmental Pareto dominated selection strategy. The algorithm which accelerated the convergence speed by excellent infeasible solutions gave a more objective evaluation of the different solutions. Taking the power margin, minimum total rolling energy consumption, minimum slip factor and the best rolling force at last rack as optimizing criterion, the quantitative relationship among four objective functions was obtained by the constrained multi-objective evolutionary algorithm, which made decision-maker grasp the rules of rolling intuitively without proficient in complex rolling theory knowledge. And the necessity of the multi-objective strategy in the load distribution of tandem cold rolling was illustrated.

constrained multi-objective optimization problem； constraint-handling technique； the load distribution of tandem cold rolling； differential evolution algorithm

2016-03-09

燕山大學博士基金資助項目(B963)；國家自然科學基金委員會與寶鋼集團有限公司聯合資助項目(U1260203)；河北省自然科學基金資助項目(F2016203249)；河北省高等學校創新團隊領軍人才培育計劃資助項目(LJRC013)；國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術研究中心開放課題資助項目(2012005)

TG335

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.01.016

孫 浩，男，1985年生。燕山大學電氣工程學院講師、博士。主要研究方向為軋制過程自動控制及多目標進化算法。E-mail:sunhao@ysu.edu.cn。肖 宏，男，1962年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。胡慶軍，男，1982年生。天津電氣科學研究院有限公司系統工程一公司副總經理。