強超弱緊生成Banach空間不動點性質(zhì)

張 吉 超， 張 文

( 1.湖北工業(yè)大學 理學院, 湖北 武漢 430068；2.廈門大學 數(shù)學科學學院, 福建 廈門 361005 )

強超弱緊生成Banach空間不動點性質(zhì)

張 吉 超*1， 張 文2

( 1.湖北工業(yè)大學 理學院, 湖北 武漢 430068；2.廈門大學 數(shù)學科學學院, 福建 廈門 361005 )

主要研究Banach空間的不動點性質(zhì),并給出一種全新的證明方法.首先利用超冪方法證明范數(shù)一致G光滑在凸集本身以及它的超冪上是相等的，然后利用反證法證明凸集在范數(shù)一致G光滑下對非擴張映射具有不動點性質(zhì),最后證明了每個強超弱緊生成的Banach空間在再賦范意義下滿足每個弱緊凸集具有超不動點性質(zhì)．

超弱緊集；不動點性質(zhì)；Banach空間

0 引 言

文獻[1]主要運用超冪方法先證明凸集具有超正規(guī)結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合凸集的超弱緊性得出該文中一個主要結(jié)果，即根據(jù)Kirk等[2]結(jié)論(一個具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的Banach空間中每個弱緊凸集對非擴張映射具有不動點性質(zhì))證明了每個強超弱緊生成空間在再賦范意義下滿足每個弱緊凸集具有超不動點性質(zhì)，此結(jié)論實質(zhì)是Kirk等[2]結(jié)論的一個應用．本文將從超冪空間出發(fā)，運用超冪方法以及Maury[2]或者Goebel[3]關(guān)于弱緊凸集不具有不動點性質(zhì)的構(gòu)造方法，結(jié)合集合之間有限表示的結(jié)論，先去研究Banach空間中有界閉凸集的超不動點性質(zhì)以及范數(shù)在凸集上一致G光滑的超性質(zhì)，然后利用反證法直接去證明主要結(jié)論，避免去證明凸集的超正規(guī)結(jié)構(gòu)，以期加強和推廣超冪方法以及不動點理論中經(jīng)典方法的應用，另一方面豐富凸集超不動點理論的內(nèi)容．

1 預備知識

Banach空間的超性質(zhì)是Banach空間理論重要組成部分之一，常見的超性質(zhì)空間有超自反空間、超不動點性質(zhì)空間、超正規(guī)結(jié)構(gòu)空間等，具有超性質(zhì)的空間均以空間之間有限表示概念為橋梁，目的是通過有限維空間性質(zhì)來研究整個空間性質(zhì)，因此空間之間有限表示概念在研究空間的超性質(zhì)中起著重要作用．在1972年，James[4]首先提出空間之間有限表示的概念和超自反空間的概念．

定義1 設(shè)X和Y是兩個Banach空間，稱Y在X中有限表示，如果對每個>0和每個有限維子空間F?Y，存在一個有限維子空間E?X和一個線性映射T：F→E滿足，即Banach-Mazur距離d(E，F(xiàn))<1+．

定義2 稱Banach空間X為超自反空間，如果對每個Banach空間Y在X中有限表示滿足Y是自反空間．

文獻[5]首先把定義1中的線性子空間和線性映射分別用單形和仿射映射來代替，然后提出如下集合之間有限表示概念，利用集合之間有限表示的概念，最后給出了超弱緊集的概念以及它的性質(zhì)．

定義4 設(shè)X和Y是兩個Banach空間，C?X，D?Y是兩個非空子集，稱D在C中有限表示，如果對每個>0和每個頂點在D中的n-單形SD，存在頂點在C中的n-單形SC和一個仿射映射T：SD→SC滿足

(1-；

x，y∈SD

定義5 設(shè)C是Banach空間X中的一個非空有界閉凸子集，稱C?X為相對超弱緊集，如果任意Banach空間Y中的每個非空有界凸子集D在C中有限表示滿足D是相對弱緊集．

性質(zhì)1 (1)Banach空間X中的一個有界凸子集是相對超弱緊集當且僅當它的弱閉包是超弱緊集；

(2)Banach空間X是超自反空間當且僅當BX是超弱緊集；

(3)Banach空間X中每個緊凸子集是超弱緊集；

(4)超自反空間中每個非空有界凸子集是相對超弱緊集；

(5)超弱緊集是弱緊集．

顯然集合之間有限表示概念可以看作是空間之間有限表示概念的推廣或局部化，而超弱緊集正好是超自反空間概念的局部化概念或推廣概念．文獻[5-6]繼續(xù)深入研究超弱緊集的性質(zhì)與特征，證明了Banach空間X中的一個有界閉凸集A是超弱緊集與集A具有有限指標性質(zhì)(此概念可見文獻[7])、集A具有有限對偶指標性質(zhì)(此概念可見文獻[8])、集A具有Δ-凸函數(shù)近似性質(zhì)(此概念可見文獻[9])等更多其他數(shù)學家給出的概念是等價的；關(guān)于更多超自反空間局部化概念或者推廣概念可見文獻[10-13]．

類似于超弱緊集的概念和強超弱緊生成空間[14]的概念，文獻[1]給出了如下凸集具有超不動點性質(zhì)的概念和強超弱緊生成空間的概念．在此之前，先介紹凸集具有不動點性質(zhì)的概念[2]．

定義6 設(shè)C是Banach空間X中的一個非空有界閉凸集，稱C具有不動點性質(zhì)，如果對每個非空閉凸子集D?C和每個非擴張映射T：D→D滿足T具有不動點，即存在x∈D滿足Tx=x．

定義7 設(shè)C是Banach空間X中的一個非空有界閉凸集，稱C具有超不動點性質(zhì)，如果對每個Banach空間Y中的非空有界閉凸集D在C中有限表示滿足D具有不動點性質(zhì)．

定義8 稱Banach空間X是強超弱緊生成空間，如果存在一個凸的超弱緊子集C?X使得對每個弱緊子集K?X和>0，存在正整數(shù)n∈N滿足K?nC+BX，有時也稱超弱緊集C強生成Banach空間X．

文獻[1，6]證明了如下強超弱緊生成空間與空間在再賦范之間的關(guān)系，在此之前，先回顧文獻[8]中范數(shù)一致G光滑概念．

或者等價于當t→0時，有

定理1 每個強超弱緊生成空間都存在一個等價的范數(shù)使得此范數(shù)限定在每個弱緊凸集上是M-一致G光滑．

空間的超性質(zhì)與它的超冪空間緊密聯(lián)系在一起，例如：一個Banach空間X是超自反空間當且僅當它的超冪空間是自反空間，下面回顧一下空間超冪的構(gòu)造．

設(shè)U是N上的自由超濾子，Banach空間X的超冪空間

其中

和

其中(xn)U是(xn)的等價類．

設(shè)C是Banach空間X中的一個非空有界閉凸集，記

顯然，X通過x→(x)U等距嵌入到(X)U的一個子空間和集合C通過x→(x)U等距嵌入到(C)U的一個子集．

關(guān)于集合的超冪與集合本身有如下結(jié)論．

命題1 設(shè)C是Banach空間X中的一個非空有界閉凸集，U是N上的自由超濾子，則(C)U在C中有限表示．

命題2 設(shè)C、D分別是Banach空間X、Y中的非空有界閉凸集，如果D在C中有限表示，則存在N上的一個自由超濾子U和一個仿射等距T：aff(D)→aff(C)滿足T(D)?(C)U．

2 主要結(jié)果

命題3 設(shè)C是Banach空間X中的一個非空有界閉凸集，則下列條件等價：

(1)C具有超不動點性質(zhì)；

(2)對N上某個自由超濾子U，(C)U具有超不動點性質(zhì)；

(3)對N上每個自由超濾子U，(C)U具有超不動點性質(zhì)；

(4)對N上每個自由超濾子U，(C)U具有不動點性質(zhì)．

證明 (1)?(3)：對任意Banach空間中的非空有界閉凸集E在(C)U中有限表示，由命題1知(C)U在C中有限表示以及有限表示的傳遞性，從而可得E在C中有限表示．根據(jù)C具有超不動點性質(zhì)知E具有不動點性質(zhì)，從而可得(3)是成立的．

(3)?(4)和(3)?(2)?(1)是顯然的．

(4)?(1)：假設(shè)C不具有超不動點性質(zhì)，則存在一個非空的有界凸集D在C中有限表示且滿足D不具有不動點性質(zhì)．根據(jù)命題2知存在N上的一個自由超濾子U和一個仿射等距T：aff(D)→aff(C)滿足T(D)?(C)U，這與(C)U具有不動點性質(zhì)相矛盾，故結(jié)論成立．

下列構(gòu)造(關(guān)于弱緊凸集對非擴張映射的不動點性質(zhì))是證明過程中關(guān)鍵步驟之一，設(shè)C是Banach空間X中的一個非空弱緊凸集和存在一個非擴張映射T：C→C不具有不動點，則通過Zorn引理知，存在一個最小的弱緊凸子集K?C滿足K不是單個元素且K對T是不變的．根據(jù)Banach壓縮映象定理知K中包含T的一個近似不動點序列(xn)，即

根據(jù)上述構(gòu)造，文獻[3]證明了如果(xn)是T的一個近似不動點序列，則

(1)

其中x∈K．

ρM(t)=ρ(M)U(t)

證明 因為M?(M)U，所以對任意的t∈R，顯然ρM(t)≤ρ(M)U(t)成立．

對任意的(xi)U∈S(X)U，(yi)U∈(M)U，其中t∈R，令

取i∈J，有

設(shè)η→0，則對任意的t∈R，有ρ(M)U(t)≤ρM(t)．

綜合上述可得ρM(t)=ρ(M)U(t)．

證明 假設(shè)M對非擴張映射不具有不動點性質(zhì)，則存在一個最小的弱緊凸子集K?M滿足K不是單個元素且K對T是不變的．設(shè)(xn)是T的一個近似不動點序列，不妨假設(shè)diamK=c和序列(xn)弱收斂到0∈K，通過式(1)知，對任意的x∈K，有

特別地

設(shè)t∈(0，1)，序列(xm)是序列(xn)的一個子序列，則

即

因為K是M的一個非空凸子集，所以對xm，0∈K，有(1-t)xm+t×0∈K．結(jié)合范數(shù)的下半連續(xù)性知

即

設(shè)m→∞，則

即

因此

推論1 超自反空間在再賦范后具有超不動點性質(zhì)．

證明 由性質(zhì)1以及超自反空間是由它的閉單位球強生成空間知：結(jié)論是成立的．

3 結(jié) 語

本文從反證法入手，結(jié)合超冪空間的性質(zhì)，證明了某類空間在再賦范意義下具有不動點性質(zhì)．此結(jié)論一方面是經(jīng)典結(jié)論的推廣，豐富了不動點理論的內(nèi)容；另一方面在其他數(shù)學分支(如方程解的存在性等)有著廣泛的運用．

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Fixed-point property of strongly super weakly compact generated Banach spaces

ZHANG Jichao*1, ZHANG Wen2

( 1.School of Science, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China； 2.School of Mathematical Sciences, Xiamen University, Xiamen 361005, China )

The fixed-point property of Banach space is studied and a new proof method is given. Firstly, the ultraproduct method is used to prove that the uniformlyG-differentiable norms are equivalent under convex sets and its ultraproduct. Then, by means of counter-proof, it is proven that convex sets have the fixed-point property for nonexpansive mappings under the uniformlyG-differentiable norm sense. Finally, it is shown that every strongly super weakly compact generated Banach space can be renormed so that every weakly compact convex set has super fixed-point property.

super weakly compact set; fixed-point property; Banach space

1000-8608(2017)01-0100-05

2016-07-10；

2016-12-16．

國家自然科學基金資助項目(11471270)；福建省自然科學基金資助項目(2015J01022)；廈門大學校長基金資助項目(20720160010).

張吉超*(1982-)，男，博士生，E-mail:156880717@qq.com；張 文(1977-)，男，副教授，E-mail:wenzhang@xmu.edu.cn.

O177.2

A

10.7511/dllgxb201701014