集合、函數與不等式題型賞析

■孫艷秋

一、集合與常用邏輯用語

例1 已知集合A={x|log2(x+1)<1},B={x||x-b|

(1)當b=2時,A∩B=?,求實數a的取值范圍。

(2)若“a=1”是“A∩B≠?”的充分條件,求實數b的取值范圍。

解:(1)易得A={x|log2(x+1)<1}={x|-10。當b=2時,B={x|2-a

因為A∩B=?,所以2+a≤-1或2-a≥1,解得0

(2)若a=1,則B={x|b-1

當{x|-1

由補集思想可得,當-2

提煉:本題屬于集合、常用邏輯用語與對數函數、不等式的交匯問題。(2)問運用了補集思想,起到了化難為易的效果。

二、一元二次函數、方程和不等式

例2 已知函數f(x)=ax2-4x-1。

(1)當a取何值時,不等式f(x)<0 對一切實數x都成立。

(2)若f(x)在區間(-1,1)內恰有一個零點,求實數a的取值范圍。

解:(1)當a=0時,-4x-1<0對一切實數不成立,則a≠0。

當a>0時,二次函數的圖像開口向上,不滿足f(x)<0對一切實數x都成立;

當a<0時,由Δ=16+4a<0,解得a<-4。

故當a∈(-∞,-4)時,不等式f(x)<0對一切實數x都成立。

(2)當a=0時,由f(x)=-4x-1=0,可得,符合題意。

綜上可知,函數f(x)在區間(-1,1)內恰有一個零點,實數a的取值范圍為{-4}∪[-3,5]。

提煉:(1)函 數f(x)=ax2-4x-1 是“偽”二次函數,要注意討論系數a=0的特殊情況;(2)結合判別式及零點存在定理可求實數a的取值范圍。(2)問也可以利用分離參數與數形結合法求解。