基于小波變換和多尺度形態學的圖像邊緣檢測*

徐劍鋒，彭亞雄

1 引言

圖像的許多信息反映在邊緣中，這些信息反映了圖像局部特征的不連續性，主要表現形式為在圖像中灰度信息發生急劇變化的位置[1]。

在圖像邊緣檢測領域，到目前為止產生了很多經典的邊緣檢測算子，但這些算子處理圖像得到的結果一般很難讓人滿意，因為通過大量實驗結果發現這些算子的抗噪聲干擾能力比較差，而且因為方法單一，很難提取精細的圖像邊緣。這些算子有：Sobel[2]算子、Prewitt[3]算子、Roberts[4]算子、Canny[5]算子等。為了克服文獻[2]-文獻[5]中提到算子的缺點，本文的算法重點不僅結合了小波變換和多尺度形態學的優點，而且在多尺度形態學的處理上采用了五個不同的結構元素，在五個尺度下分別對目標圖像進行檢測，最后融合了五個尺度下的檢測結果。盡管步驟比較繁瑣，但此算法結合了兩種方法的優點，使得在噪聲干擾的條件下，依舊可以檢測出準確的邊緣。為了得到圖像清晰的邊緣，在整個算法中對圖像進行了兩次融合，第一次是在運用多尺度形態學后對檢測后的圖像進行融合，另一次是在最后一步對高頻和低頻的邊緣子圖像進行融合[6]。為了驗證算法的抗噪性能，分兩次對目標圖像疊加了不同的高斯白噪聲，然后對目標圖像進行檢查。在噪聲干擾的條件下得到了源圖像清晰的輪廓，證實了本文算法良好的抗噪性。

2 小波變換的圖像邊緣檢測原理

2.1 小波變換的基本介紹

將一個函數表示為一個尺度成分，然后針對這個尺度下的一個小的波動成分的一種運算，稱之為小波變換[7]。

2.2 小波變換算法的基本原理

圖像的邊緣點可以通過檢測二維小波變換的模極大值點確定[8]，基本原理如下：

θ(x, y)為高斯平滑函數，θ(x, y)的兩個偏導數為：

在尺度為s時，f(x, y)小波變換的兩個分量定義為：

對于二進制小波的定義為：

梯度矢量▽(f*θ2j)(x,y)的大小正比于：

A梯度矢量▽(f*θj2)(x,y)的方向和水平方向的夾角為：

為了得到圖像的邊緣點，可以沿著梯度矢量方向進行檢測，由于梯度模局部極大值的方向和梯度矢量方向一致，最后得到的檢測結果就是圖像的邊緣點。

3 基于數學形態學的邊緣檢測算法

數學形態學是由一組形態學的代數算子組成的，通過腐蝕、膨脹、閉合和開啟這四個基本運算的組合變換，使得數學形態學可以適應不同的處理對象，以達到圖像形狀和結構分析處理的目的[9]。

假設f(x, y)為輸入圖像，g(i, j)為結構元素，形態學運算中的膨脹運算符號和腐蝕運算符號分別表示為⊕和Θ，那么可以得到如下定義：

灰度膨脹運算：

灰度腐蝕運算：

灰度開啟運算：

灰度閉合運算：

4 多尺度形態學邊緣檢測算法

多尺度形態為了實現其相應的功能，主要是通過形態結構元素來實現。形態結構元素如果選取不同的尺度，計算量也會隨之不同，并且可能對圖像本身形狀造成影響[10]。所以在應用不同尺度的結構元素進行邊緣檢測時，選取合適尺度的結構元素十分重要。

構造形態學多尺度迭代濾波器如下：

在本案列中，設定結構元素為g，將其設計為5個3×3模0板，分別為個g1～g5：

多尺度邊緣檢測算法為：

式（13）中，n為尺度參數。

多尺度邊緣融合算法為：

式（14）中，ui為各個尺度邊緣檢測圖像進行融合時的加權系數。

具體算法如下所示：

對5個結構元素分別進行膨脹，用膨脹后的5個結構元素在尺度n=1、n=2、n=3、n=4、n=5時分別對圖像進行邊緣檢測，然后對邊緣圖像進行圖像融合，獲得五個不同尺度下的邊緣檢測結果分別為：Gf1、Gf2、Gf3、Gf4、Gf5。

最后使用實體加權融合的方法對上述結果進行融合，得到最終的檢測結果。

5 基于小波變換和多尺度形態學的邊緣檢測算法

（1）小波分解：利用小波分解，對檢測對象進行分解，最終得到源圖像的高頻子圖像和低頻子圖像。在低頻方面，只有一個低頻近似子圖像。高頻子圖像有三個，分別是水平、垂直、對角這三個方向的高頻細節子圖像[11]。

（2）基于多尺度形態學的邊緣檢測：對小波分解后得到的低頻子圖像使用多尺度形態學檢測邊緣。

（3）基于小波變換的邊緣檢測：使用小波變換檢測高頻子圖像邊緣。

（4）實體加權融合：對五個不同尺度下，低頻子圖像的邊緣檢測結果進行實體加權融合。

（5）基于小波變換的圖像融合：為了獲取源圖像的最終檢測結果，對上述步驟中步驟（3）以及步驟（4）的結果進行融合處理，得到源圖像清晰準確的邊緣。

6 實驗及分析

將本文所介紹的算法通過Matlab軟件進行仿真實驗，在同樣測試條件下對比文獻[2]和文獻[5]的方法，得到圖1至圖4所示的結果。圖1（a）～（c）的三個圖依次為不含噪聲的Mike圖像、疊加方差為0.05的高斯白噪聲圖像、疊加方差為0.1的高斯白噪聲圖像。圖2表明是通過Sobel算法進行邊緣檢測的結果。圖3是通過Canny算法進行邊緣檢測的結果。圖4是本文算法檢測的結果。對比圖2、圖3、圖4的結果可以看出，在沒有噪聲干擾的條件下，本文算法檢測出的結果優勢不大。但是當對源圖像疊加不同程度的高斯白噪聲時，本文算法的檢測結果可以看到源圖像中清晰的輪廓，并且隨噪聲的增加，檢測結果變化不大。Sobel算法及Canny算法只能檢測出圖像大致的輪廓，并且隨噪聲的增加，對含噪圖像的檢測結果明顯下降。上述分析表明在噪聲干擾的條件下，和傳統方法檢測的結果相比，本文算法具有良好的抗噪性能，可以檢測出源圖像清晰的邊緣。

7 結束語

本文在小波變換以及多尺度形態的基礎上結合兩者的優勢，提出了一種通過兩次融合，最終得到源圖像準確邊緣的檢測算法。論文主要的改進思路是，對目標圖像進行小波分解后，對多尺度形態學在五個不同尺度下，對源圖像經小波分解后的低頻子圖像的檢測結果進行實體加權融合，從而得到源圖像低頻子圖像清晰的邊緣。最后再對高頻和低頻的檢測結果再次進行融合處理，得到最終的檢測結果。通過實驗分析，可以發現該算法可以得到較為滿意的邊緣檢測及抗噪效果，但是該算法的計算量較大，程序較為復雜，耗時較長。特別是需要進行兩次融合，工作量非常大，希望在以后的學習研究中，繼續對算法進行改進，讓它可以更加迅速地得出實驗結果。

圖1 原圖

圖2 Sobel邊緣檢測

圖3 Canny邊緣檢測

圖4 本文算法

[1] 高國榮,劉冉,羿旭明. 一種改進的基于小波變換的圖像邊緣提取算法[J]. 武漢大學學報：理學版, 2005,15(5):615-619.

[2] SOBEL L. Camera Models and Machine Perception[D].Stan-ford: Stanford University, 1970.

[3] PREWITT J. Object Enhancement and Extraction[M].New York: Picture Processing and Psychopictorics Press,1970: 75-149.

[4] ROBERTS L G. Machine Perception of Three-Dimension Solids[C]//Optical and Electro-Optimal Information Processing. Cambridge, MA: MIT Press, 1965.

[5] CANNY J. A Computational Approach to Edge Detection[J]. IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelli-gence, 1986,8(6):679-697.

[6] 張進. 基于小波NSCT變換和數學形態學的圖像邊緣檢測[D]. 大慶: 東北石油大學, 2014.

[7] 張利紅,梁英波. 基于多尺度多結構形態學火焰圖像邊緣檢測[J]. 電視技術, 2012,36(11): 138-160.

[8] 程正興. 小波分析算法[M]. 西安: 西安交通大學出版社, 1998: 102-110．

[9] 雷艷敏,黃秋元. 基于數學形態學的圖像邊緣檢測[J]. 武漢理工大學學報：信息與管理工程版,2005(5): 21-26.

[10] 王芳,錢煒,李文超. 基于數學形態學的圖像邊緣提取方法[J]. 機械工程與自動化, 2015(1):46-48.

[11] 黃海龍,王宏. 一種基于小波變換和數學形態學的邊緣檢測算法[J]. 東北大學學報：自然科學版, 2011,32(9): 1315-1318.★