三次函數新熱點 發散思維巧解題

宋惠英

(江蘇省江陰高級中學 214400)

高考鏈接(2017·江蘇)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值，且導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點．(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)

(1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

(2)證明：b2>3a;

2017年江蘇數學高考卷的最后一道壓軸題是以三次函數為背景的，結合了函數的極值、零點的概念，考查了函數解析式與定義域、不等式的證明、導數、函數的極值最值和零點等一系列知識，可見高考數學命題正體現了以基礎知識為根本，提升能力為目的的命題思路，三次函數也再次引起廣大師生的關注，成為新的熱點.本文以一道常見的三次函數題為例，在基本知識熟練應用的基礎上發散思維，探索三次函數的解題思路和方法.

一、問題背景

(1)求證：x1x2>0；

(2)求證：(b-1)2=16a2+4a；

(3)求實數b的取值范圍.

這道題以三次函數為背景，以極大極小值為載體，綜合運用導數、二次函數、不等式等數學基本知識和基本方法，是一道精心設計的函數不等式綜合題，條件簡潔，入手順暢，方法多樣，能有效激發學生思維，是一道值得回味的好題.

二、分析問題

根據題目的條件，學生馬上就能入手，對原函數求導，可知f′(x)=ax2+(b-1)x+1(a>0)，那么x1、x2就是f′(x)=0的兩根，x1x2的符號可以由韋達定理來判斷.第二小題也不難，抓住|x1-x2|=4的條件，代入韋達定理，也很快可以解決.

但是第三問求實數b的取值范圍就不容易解決了，雖然第二問有a，b的關系，但是這是個二次式，同時，條件中的|x1|<2，且|x1-x2|=4的使用也情況復雜.可以先確立根的范圍，從二次方程根的分布入手，也可以試試不等式的性質來處理.

三、解決問題

解(1)f′(x)=ax2+(b-1)x+1(a>0).

由題知f′(x)=0的兩根為x1，x2且x1

∴(b-1)2=16a2+4a.

(3)[法一]：確立根的范圍，挖掘隱含條件.

∵|x1|<2,x12.∵x1x2>0,

∴x1>0即00,∴4a+1<2(1-b).把4a+1、1-b看做一個整體,

從而(4a+1)2<2(1-b)2=4(16a2+4a),

∵|x1|<2,x2=x1+4,

∴2

把x1、x2用a，b表示，完美處理條件|x1|<2，且|x1-x2|=4

[法三]：同上得f′(2)=4a+2b-1<0且1-b>0,

∴4a+1<2(1-b).

轉化為關于b的不等式，再求解,

[法四]：分析可得0

∴2

結合二次函數圖象,

(1)×9-(2)得：12(b-1)+8<0,轉化為二次方程根的分布問題,

[法五]：由題知f′(x)=0的兩根為x1，x2且x1

令t=x1+2(2,4),

四、聯想比較

已知函數f(x)=x3-ax2-3x.

1.若f(x)在區間[1，+∞)上是增函數，求實數a的取值范圍；

3.在(2)的條件下，是否存在實數b，使得函數g(x)=bx的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點？若存在，請求出實數b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

解(1)f′(x)=3x2-2ax-3.

∵f(x)在[1，+∞)是增函數，

∴f′(x)在[1，+∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2-2ax-3≥0在[1，+∞)上恒成立，

∴a=4，∴f(x)=x3-4x2-3x.

則當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：

x1(1，3)3(3，4)4f′(x)-0+f(x)-6↘-18↗-12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.

(3)假設存在實數b使得函數g(x)=bx的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3個不等實根．

∴x3-4x2-3x-bx=0，∴x=0是其中一個根，∴方程x2-4x-3-b=0有兩個非零不等實根．

∴存在滿足條件的b值，b的取值范圍是b>-7且b≠-3.

五、回顧反思

變量、字母較多的問題是高中數學中常考的問題，三次函數又是高考中的熱點問題，但是三次函數往往能通過求導轉化為我們熟悉的二次函數，從而和二次方程，不等式聯系起來.所以要提高數學的解題能力，第一要有扎實的基礎，熟練掌握利用導數求函數的極值或最值的方法，解題的關鍵是首先要正確求導，準確記憶常用函數的求導公式及求導法則，其次令導函數等于零，列表，根據表格確定極值，進而確定最值，注意不能忽視邊界．第二要多研究問題，抽絲剝繭，轉化聯想，恒等變形，消元化一，結合圖象，一題多解，必能在解題能力上上一個臺階.

[1]蔡廣軍.發散思維 有的放矢——從一道模擬題淺談最值問題轉化角度[J]. 福建中學數學,2014(Z1).

[2]李靜.例說高中數學最值問題[J].數理化解題研究(高中版),2013(04).