柯西不等式及其在高考中的應用

韓 芳

(寧夏銀川市實驗中學 750001)

一、二維形式的柯西不等式形式及其證明

設a,b,c,d∈R，則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，當且僅當ad=bc時，取等號.

證法一(配方法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2.

∵m·n=ac+bd，且m·n=|m||n|cos〈m,n〉，則|m·n|≤|m||n|.

∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

證法三(構造二次函數法)設f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+c2+d2，

∵f(x)=(ax-c)2+(bx-d)2≥0恒成立.

∴Δ=[-2(ac+bd)]2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0，即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

二、一般形式的柯西不等式及其證明

設a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,則

當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或?k∈R,ai=kbi(i=1,2,…,n)時,取等號.

三、柯西不等式在高考中的應用

結合全國各省不等式選講這一模塊的選做題，我們發現，陜西、福建、湖北等地考查柯西不等式的居多，而借助柯西不等式解題的難點在于要能把原問題變為適合于柯西不等式的各種形式，這就需要抓住應用柯西不等式的兩個主要技巧：一是在于構造兩組數；二是結合題目中的數值特征，來拆分柯西不等式中的常數.

1.求函數的最值

例1 (2015·福建卷)已知a>0,b>0,c>0,函數f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.

(1)求a+b+c的值；

解析(1)因|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)

-(x-b)|+c=a+b+c，當且僅當-a≤x≤b時，等號成立.因為f(x)的最小值是4，所以a+b+c=4.

(2)由(1)知a+b+c=4，由柯西不等式得

點評在解題中，要想使用柯西不等式，就得先理解它的數學意義和外在形式，當一個代數式與柯西不等式的左邊或右邊形式一致時，可考慮利用柯西不等式對這個式子放縮.

例2 (2015年高考數學陜西卷，24)已知關于x的不等式|x+a|

(1)求實數a，b的值；

解析(1)解得a=-3，b=1.

點評作為一種非常重要的解題工具—柯西不等式，其在應用求解相關不等式時,關鍵在于構造出柯西不等式的形式，并注意能取到等號的條件.

2.證明不等式

例3 (2014·浙江卷)設正數a,b,c滿足abc=a+b+c，求證：ab+4bc+9ac≥36，并給出等號成立條件．

∴ab+4bc+9ac≥36，當且僅當a=2,b=3,c=1時,取等號.

例4 (2017年新課標Ⅱ卷，第23題)已知a>0,b>0,a3+b3=2,證明：(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.

解析(1)由柯西不等式得

3.證明等式與解方程

4.在解析幾何中的應用

例6 (2008年高考新課標卷Ⅱ理科21題)設橢圓中心在坐標原點，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．

(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值．

靈活巧妙地應用柯西不等式，可以使得一些較為復雜的數學問題簡單化.通過以上幾個方面的應用舉例，使我們不僅掌握了柯西不等式在數學解題中的應用技巧，而且了解了高考對柯西不等式知識的考查程度，從而，使我們更加科學和高效地對相關問題進行系統化的復習.

[1] 華東師范大學數學系．數學分析(第三版) [M]．北京：高等教育出版社，2001．

[2]中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書(數學選修4-5)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]楊麗英.柯西不等式的證明及應用[J].內蒙古師范大學學報(自然科學版),2013,42(1):16-20.